По вертикали на сосуд действуют несколько сил: сила атмосферного давления, сила тяжести, сила давления воздуха под крышкой, сила давления воды на горизонтальный участок на стыке верхней и нижней частей сосуда, а во втором состоянии – ещё и вес гири. Пусть $M$ – масса сосуда, $x_{0}$ – высота столба воздуха в начальном состоянии, $S$ и $s=\alpha S$ – площади поперечных сечений соответственно сосуда и трубы. Запишем условие равновесия для начального состояния:
$$
-p_{атм} S-M g+p_{0} s+\left(p_{0}+\rho g\left(H-x_{0}\right)\right)(S-s)=0,
$$
или после некоторых преобразований
$$
\rho g\left(H-x_{0}\right)(1-\alpha)+p_{0}-p_{атм}-\frac{M g}{S}=0. \quad (1)
$$
Воздух был при одной и той же температуре в обоих состояниях, поэтому его давление в конечном состоянии $p_{1}=p_{0} x_{0} / x$. Аналогично уравнению $(1)$ запишем условие равновесия для конечного состояния:
$$
\rho g(H-x)(1-\alpha)+p_{0} \frac{x_{0}}{x}-p_{атм}-\frac{2 M g}{S}=0. \quad (2)
$$
Исключим $M g / S$ из $(1)$ и $(2)$:
$$
\rho g\left(H-2 x_{0}+x\right)(1-\alpha)+2 p_{0}-p_{0} \frac{x_{0}}{x}-p_{атм}=0. \quad (3)
$$
Из несжимаемости воды следует соотношение между высотой, на которую опустился сосуд, и уменьшением высоты столба воздуха: $S \Delta h=s\left(x_{0}-x\right)$. После подстановки $x_{0}=x+\Delta h / \alpha$ в $(3)$ и упрощений получим:
$$
\rho g(1-\alpha) x^{2}-\left(\rho g(1-\alpha)\left(H-2 \frac{\Delta h}{\alpha}\right)+p_{0}-p_{атм}\right) x+p_{0} \frac{\Delta h}{\alpha}=0,
$$
откуда
$$
x_{\pm}=\frac{b \pm \sqrt{b^{2}-4 \rho g(1-\alpha) p_{0} \Delta h / \alpha}}{2 \rho g(1-\alpha)},
$$
где
$$
b=\rho g(1-\alpha)\left(H-2 \frac{\Delta h}{\alpha}\right)+p_{0}-p_{атм}=71.75~кПа.
$$
Подставив численные значения, получим $x_{+}=6.40~м$, $x_{-}=1.74~м$. Корень $x_{+}>H$ не имеет смысла, поэтому искомая высота
$$
x=x_{-}=1.74~м.
$$