1  ^?? Ключ $K_{1}$ замыкают. Какими будут заряды на пластинах после установления равновесия? Какое количество теплоты $Q_{0}$ выделится на резисторе $R_{1}$?

Рассмотрим равновесное состояние системы после замыкания первого ключа. Пластина $1$ заряжается до некоторого заряда $q_{01}$, пластина $3$ – до противоположного заряда $-q_{01}$, пластины $2$ и $4$ остаются незаряженными. Напряженность электрического поля между пластинами $1$ и $3$ равна $E_{0}=q_{01} /\varepsilon_{0} S$ разность потенциалов между ними $E_{0} l$ совпадает с ЭДС батарейки:
$$
\mathscr{E}=\frac{q_{01} l}{\varepsilon_{0} S}.
$$Следовательно, на пластине $1$ устанавливается заряд
$$
q_{01}=\frac{\varepsilon_{0} S \mathscr{E}}{l}.
$$Выделяющееся в данном процессе количество теплоты $Q_{0}$ рассчитывается из закона сохранения энергии, как разность работы источника
$$
W_{0 бат}=q_{01} \mathscr{E}=\frac{\varepsilon_{0} S \mathscr{E}^{2}}{l}
$$и конечной электростатической энергии
$$
W_{0 эл}=\frac{\varepsilon_{0} S \mathscr{E}^{2}}{2 l}.
$$Следовательно,
$$
Q_{0}=\frac{\varepsilon_{0} S \mathscr{E}^{2}}{2 l}.
$$

2  ^?? После установления равновесия замыкают ключ $K_{2}$. Найдите установившиеся заряды на пластинах и суммарное количество теплоты $Q$, которое выделится на резисторах $R_{1}$ и $R_{2}$ после замыкания ключа $K_{2}$.

Рассмотрим теперь второй этап процесса, после замыкания ключа $K_{2}$. В этом процессе происходит перераспределение зарядов как между пластинами $1$ и $3$ , так и между пластинами $2$ и $4$. Пусть $q_{1}$ и $q_{2}$ – установившиеся заряды на пластинах $1$ и $2$, тогда заряды на пластинах $3$ и $4$ равны $-q_{1}$ и $-q_{2}$ соответственно. Напряженности электрического поля между пластинами $1$ и $2$, $2$ и $3$, $3$ и $4$ соответственно равны:
$$
E_{12}=\frac{q_{1}}{\varepsilon_{0} S}, \quad E_{23}=\frac{q_{1}+q_{2}}{\varepsilon_{0} S}, \quad E_{34}=\frac{q_{2}}{\varepsilon_{0} S}.
$$Разность потенциалов между пластинами $2$ и $4$ должна быть равна нулю:
$$
0=E_{23} l x+E_{34} l(1-x),
$$откуда $q_{2}=-q_{1} x$. Разность потенциалов между пластинами $1$ и $3$ равна $\mathscr{E}$:
$$
\mathscr{E}=E_{12} l(1-x)+E_{23} x,
$$следовательно
$$
q_{1}=\frac{\varepsilon_{0} S \mathscr{E}}{l\left(1-x^{2}\right)}, \quad q_{2}=-q_{1} x=-\frac{\varepsilon_{0} S \mathscr{E} x}{l\left(1-x^{2}\right)} .
$$Конечная электростатическая энергия системы
$$
\begin{aligned}
W_{эл}=S l(1-x) \frac{\varepsilon_{0} E_{12}^{2}}{2}+S l x \frac{\varepsilon_{0} E_{23}^{2}}{2}+S l(1-x) \frac{\varepsilon_{0} E_{34}^{2}}{2}= \\
=\frac{l q_{1}^{2}}{2 \varepsilon_{0} S}\left((1-x)+x(1-x)^{2}+(1-x) x^{2}\right)=\frac{S \varepsilon_{0}}{2 l} \frac{\mathscr{E}^{2}}{1-x^{2}} .
\end{aligned}
$$Её изменение на втором этапе
$$
W_{эл}-W_{0 эл}=\frac{\varepsilon_{0} S \mathscr{E}^{2} x^{2}}{2 l\left(1-x^{2}\right)}.
$$Работа батарейки на втором этапе
$$
W_{бат}=\mathscr{E}\left(q_{1}-q_{01}\right)=\frac{\varepsilon_{0} S \mathscr{E}^{2} x^{2}}{l\left(1-x^{2}\right)}.
$$Следовательно, на резисторах выделится количество теплоты
$$
Q=W_{бат}-\left(W_{эл}-W_{0 эл}\right)=\frac{\varepsilon_{0} S \mathscr{E}^{2} x^{2}}{2 l\left(1-x^{2}\right)}.
$$