На рисунке (a) изображено устройство, состоящее из двух металлических слоёв $M$, разделённых тонким изолирующим слоем $I$. В рамках классической физики переход электрона из одного металлического слоя в другой через изолятор невозможен, однако в рамках квантовой механики такое может происходить с некоторой вероятностью. Это называется туннельным эффектом. Так как туннельный эффект затрагивает отдельные электроны, то переносимый заряд оказывается кратен заряду электрона $-e$ ($e=1.6\cdot10^{-19}~\text{Кл}$), потому процесс называют одноэлектронным туннелированием, а устройство $MIM$ — туннельным переходом. В данной задаче будет рассматриваться так называемый $\textit{принцип кулоновской блокады}$, влияющий на процесс одноэлектронного туннелирования. Связанная с ней область науки важна и перспективна, так как исследования кулоновской блокады позволяют создавать электронные устройства очень маленьких размеров.

Чтобы объяснить принцип кулоновской блокады, рассмотрим простой пример. Представим туннельный переход как конденсатор ёмкостью $C$, как то показано на рисунке (b). Конденсатор будет иметь ненулевой заряд, если электронное облако незначительно сместится относительно ионов металла. Если в результате туннелирования энергия системы увеличивается, то туннелирование не может произойти, что и называется кулоновской блокадой.

1 Определите, при каких значениях разности потенциалов между обкладками конденсатора $V_{AB}=V_A-V_B$ одноэлектронное туннелирование невозможно.

2 Определите значение ёмкости $C$, если одноэлектронное туннелирование становится возможным при $V_{AB}=0.10~\text{мВ}$.

Рассмотрим теперь два туннельных перехода, которые соединили вместе и подключили к источнику постоянного напряжения $V$, как показано на рисунке (c). Внутренний металлический слой такой системы называется островом. На острове находятся $n$ электронов, а переходы имеют ёмкости $C_S$ и $C_D$.

3 Покажите, что выражение для энергии системы в зависимости от $n$ имеет следующий вид:\[U_n=\frac{\left(-ne\right)^2}{2\left(C_S+C_D\right)}.\]

Наконец, как показано на рисунке (d), к острову присоединяют затворный электрод $G$ с ёмкостью $C_G$. Полученное устройство называется $\textit{одноэлектронным}$ $\textit{транзистором}$. Туннелирование между затвором и островом не происходит. Если $V$ остаётся постоянным и небольшим по величине, то с помощью напряжения $V_G$ можно контролировать количество электронов на острове $n$. Можно считать, что при включении $V_G$ к заряду острова добавляется дополнительный виртуальный заряд $q_0=C_GV_G$. Тогда энергия системы будет иметь вид:\[U_n=\frac{\left(-ne+q_0\right)^2}{2C_{\Sigma}},\]где $C_{\Sigma}=C_S+C_D+C_G$.

4 Начертите график энергии системы $U_n$ в зависимости от напряжения затвора в диапазоне $\frac{C_GV_G}{e}\in\left[0;3\right]$ (по оси абсцисс откладывайте $C_GV_G$ в единицах $e$, а по оси ординат — $U_n$ в единицах $\frac{e^2}{C_{\Sigma}}$). При построении графика учитывайте эффект кулоновской блокады. Отметьте значения $\frac{C_GV_G}{e}$, при которых $n=0,1,2\ \text{или}\ 3$.