1  ^?? С какой скоростью $\vec{v_р}$, должна двигаться ракетка, чтобы мяч отразился под прямым углом к первоначальной траектории?

Перейдем в СО ракетки.
Разумеется со стороны ракетки на мяч действует сила трения, если мяч не подвижен относительно ракетки в горизонтальном положении.
Поэтому в этом случае она за время удара закрутит мяч и он перестанет двигаться поступательно.
Поэтому в СО ракетки мяч будет двигаться перпендикулярно ракетке, т.е. $v_{\mathrm {II}}=v_0\sin\alpha$.
После удара скорость мяча в СО ракетки поменяет направление на противоположное и в СО земли будет направлена как:

2  ^?? Какой угол $\varphi$ составляет скорость $\vec{v_р}$ с перпендикуляром к ракетке, если скорость $\vec {v_0}$ составляет с тем же перпендикуляром угол $\alpha$?

$$
\varphi=\operatorname{arctg} \frac{V_{\mathrm{II}}}{V_{\perp}}=\operatorname{arctg}\left(-\frac{\sin 2 \alpha}{\cos 2 \alpha}\right)=-2 \alpha+\pi L, L \in \mathbb{Z} .
$$Ясно, что $0 \leqslant 2 \alpha \leqslant \pi$.
Чтобы $\varphi \in[0 ; \pi]$, нужно взять $\varphi=\pi-2 \alpha$.