$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{G m_A m_B}{\left(r_A+r_B\right)^2}=\Omega^2 r_A m_A ~(1) \\
\frac{G m_A m_B}{\left(r_A+r_B\right)^2}=\Omega^2 r_B m_B~(2)
\end{array}\right.
$$$\Omega$ — угловая скорость вращения Сириусов относительно точки $O$
Отсюда следует:
$$
~(1)~и~(2)\Rightarrow \Omega^2 r_A m_A=\Omega^2 r_B m_B \Rightarrow \frac{r_A}{r_B}=\frac{m_B}{m_A}.
$$По условию $T=\frac{2\pi}{\Omega}=50~лет\Rightarrow \Omega=\frac{2\pi}{T}$.
$$
(1)\Rightarrow\frac{G m_B}{\left(r_A+r_B\right)^2}=\Omega^2 r_A\\
(2)\Rightarrow\frac{G m_A}{\left(r_A+r_B\right)^2}=\Omega^2 r_B\\
\Downarrow \\
\frac{G\left(m_A+m_B\right)}{\left(r_A+r_B\right)^2}=\Omega^2\left(r_A+r_B\right) \Rightarrow \\
\Rightarrow \frac{G\left(m_A+m_B\right)}{\left(r_A+r_B\right)^3}=\Omega^2~(3).
$$$m_A=2.3 M_C=\mu_A \cdot M_C, \quad \mu_A=2.3$.
$m_B=\mu_B M_C, \quad \mu_B$ требуется найти.
Пусть $L$ — расстояние от земли до центра масс $O$ системы Сириус $A$ — Сириус $B$.
Тогда $$r_A\approx L\alpha \\
r_B=\frac{r_A \cdot m_A}{m_B}=L \alpha \cdot \frac{\mu_A}{\mu_B}$$Подставляя в $(3)$, получим:
$$
\frac{G\left(\mu_A+\mu_B\right) M_C}{L^3 \cdot \alpha^3 \cdot \frac{\left(\mu_A+\mu_B\right)^3}{\mu_B^3}}=\Omega^2~ (4)
$$$\frac{G M_c M_3}{R_0^2}=\omega^2 M_3 R_0$ — уравнение движения земли вокруг Солнца, $\omega=\frac{2 \pi}{T_0}$, где $T_0=1~год$.
$$
\frac{G M_c}{R_0^3}=\omega^2~ (5) .
$$По условию $\beta \approx \frac{R_0}{L} \Rightarrow L=\frac{R_0}{\beta}$.
Подставляем в $(4)$: $$
\frac{G \mu_B^3\left(\mu_A+\mu_B\right) M_C \beta^3}{R_0^3 \alpha^3\left(\mu_A+\mu_B\right)^3}=\Omega^2.
$$Используя $(5)$, получим
$$
\frac{\mu_B^3 \beta^3}{\alpha^3\left(\mu_A+\mu_B\right)^2}=\frac{\Omega^2}{\omega^2}=\left(\frac{T_0}{T}\right)^2 .
$$Подставляя численное значение, получим
$$
\frac{\mu_B^3}{\left(2.3+\mu_B\right)^2}=0.092 .
$$Решая уравнение на калькуляторе, найдем $\mu_B\approx1.0$.