1  ^?? Пружина подчиняется закону Гука как при растяжении, так и при сжатии.

Изобразим на плоскости $x y$ окружность радиуса $L$ и введём обозначение $r=L+z$ (см. рисунок), где $z$ – деформация пружины.

На шайбу действует сила упругости $F_{упр}=k z$ и составляющая силы тяжести вдоль плоскости $m g \sin \alpha$ (см. рисунок ниже).

Равнодействующая $F$ этих сил может быть найдена с помощью теоремы косинусов:
$$
F^{2}=(k z)^{2}+(m g \sin \alpha)^{2}+2 \cdot k z \cdot m g \sin \alpha \cdot \sin \theta.
$$
Для того, чтобы шайба находилась в равновесии, нужно чтобы сила $F$ не превышала по модулю максимальную силу трения покоя:
$$
F \leq F_{тр. \max}=\mu N=\mu m g \cos \alpha=m g \sin \alpha.
$$
В итоге получаем уравнение, определяющее границы областей равновесия:
$$
(k z)^{2}+2 k z \cdot m g \sin \alpha \cdot \sin \theta=0.
$$
Это уравнение имеет два корня:
$1$. $z=0$ – граница совпадает с окружностью радиуса $L$.
$2$. $z=-\frac{2 m g}{k} \sin \alpha \sin \theta=-A \sin \theta$, где $A=\frac{2 m g}{k} \sin \alpha>0$.

$I$ случай: пружина работает как на растяжение, так и на сжатие (см. рисунок выше):
$$
\begin{gathered}
0 \leq \theta \leq \pi \quad \text { -- сжатие },
\\
\pi \leq \theta \leq 2 \pi \quad \text { -- растяжение }.
\\
x=(L+z) \cos \theta=(L-A \sin \theta) \cos \theta=L \cos \theta-\frac{A}{2} \sin 2 \theta,
\\
y=(L+z) \sin \theta=(L-A \sin \theta) \sin \theta=L \sin \theta-A \sin ^{2} \theta .
\end{gathered}
$$

2  ^?? Пружина подчиняется закону Гука только при растяжении (например, пружина заменена лёгкой резинкой).

$II$ случай: пружина работает только на растяжение (см. рисунок выше). В этом случае вся область внутри окружности радиуса $L$ является равновесной, так как отсутствуют упругие силы. К этой области добавляется область растяжения из $I$ случая. Значениям $0 \leq \theta \leq \pi$ соответствует $r=L$, $\pi \leq \theta \leq 2 \pi$ – граница области, как в $I$ случае.