1  ^?? Какую минимальную скорость $v_{\min }$ нужно сообщить протону, находящемуся вдали от кольца, чтобы он пролетел по оси кольца через его центр?

Электрический потенциал $\varphi_{1}$ в центре кольца равен
$$
\varphi_{1}=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} R},
$$
а потенциальная энергия $W_{1}$ протона в центре кольца:
$$
W_{1}=\frac{Q e}{4 \pi \varepsilon_{0} R}.
$$
По закону сохранения энергии $W_{1}=m_{p} v^{2} / 2$. Тогда
$$
v_{1 \min }=\sqrt{\frac{2 W_{1}}{m_{p}}}=\sqrt{\frac{Q e}{2 \pi \varepsilon_{0} R m_{p}}}=5.9 \cdot 10^{5}~м/с.
$$

2  ^?? Какую минимальную скорость нужно сообщить протону в этом случае, чтобы он пролетел через отверстие в диске?

Найдём потенциал $\varphi_{2}$ в центре равномерно заряженного диска. Поверхностная плотность заряда на диске $\sigma=Q / S=Q /(\pi R^{2})$. Рассмотрим элементарное кольцо радиусом $r$ и толщиной $d r$. Заряд этого кольца равен
$$
d q=\sigma \cdot 2 \pi r \cdot d r=\frac{2 Q r d r}{R^{2}}.
$$
Потенциал, создаваемый элементарным кольцом в его центре, равен
$$
d \varphi_{2}=\frac{d q}{4 \pi \varepsilon_{0} r}=\frac{Q d r}{2 \pi \varepsilon_{0} R^{2}}.
$$
Отсюда потенциал в центре диска:
$$
\varphi_{2}=\int \limits_{0}^{R} \frac{Q}{2 \pi \varepsilon_{0} R^{2}} d r=\frac{Q}{2 \pi \varepsilon_{0} R}.
$$
Как видно, $\varphi_{2}=2 \varphi_{1}$. Следовательно, энергия протона в центре $W_{2}=2 W_{1}$, и тогда
$$
v_{2 \min }=\sqrt{2} v_{1 \min }=8.3 \cdot 10^{5}~м/с.
$$