Изобразим силы, действующие на шкаф. При движении шкафа $F_{тр_1}=\mu_1 N_1$ и $\ F_{тр_2}=\mu_2 N_2$. Запишем правило моментов относительно левой ножки: $Fh+\frac{m g l}{2}=N_2 l$ и правой ножки: $Fh+N_1 l=\frac{m g l}{2}$. Нужно следить за условием $N_1 \geqslant 0 $ и $ N_2 \geqslant 0$, т.к. сила реакции опоры не может «притягивать» шкаф к полу.
Условие того, что шкаф сдвинется с места: $
|F| \geqslant \mu_1 N_1+\mu_2 N_2 $. Имеем:
$$
\left\{\begin{array}{l}
N_1=\frac{m g}{2}-\frac{F h}{L} \\
N_2=\frac{m g}{2 g}+\frac{F h}{l} .
\end{array}\right.\\
|F| \geqslant\left(\mu_1+\mu_2\right) \frac{m g}{2}+\left(\mu_2-\mu_1\right) \frac{F h}{L} \\
|F|+\frac{F h}{L}\left(\mu_1-\mu_2\right) \geqslant\left(\mu_1+\mu_2\right) \frac{m g}{2} (*)
$$Поскольку $\mu_1-\mu_2>0$, то $\frac{F h}{L}\left(\mu_1-\mu_2\right)$ имеет тот же знак, что и $F$.
$$\begin{aligned} & N_1 \geqslant 0 \Leftrightarrow \frac{F h}{L} \leqslant \frac{m g}{2} . \\ & N_2 \geqslant 0 \Leftrightarrow \frac{F h}{L} \geqslant-\frac{m g}{2} .\end{aligned}$$$$
\left\{\begin{array}{l}
N_1 \geqslant 0 \\
N_2 \geqslant 0
\end{array} \Leftrightarrow\left|\frac{F h}{L}\right| \leqslant \frac{m g}{2} \Leftrightarrow|F| \leqslant \frac{m g L}{2 h} .\right.
$$Чтобы в $(*)$ левая часть была как можно больше, нужно брать $F$ со знаком «$+$». Имеем:
$$
\left\{\begin{array}{l}
0 \leqslant F \leqslant \frac{m g L}{2 h} \\
F+\frac{F h}{L}\left(\mu_1-\mu_2\right) \geqslant\left(\mu_1+\mu_2\right) \frac{m g}{2}
\end{array}\right.
$$Чтобы минимизировать $F$, будем брать $F$ такой, чтобы в нижнем неравенстве было равенство: $$
F=\frac{\left(\mu_1+\mu_2\right) m g}{2\left(1+\frac{h}{L}\left(\mu_1-\mu_2\right)\right)} (**) .
$$Остается проверить: $$
\frac{\left(\mu_1+\mu_2\right) m g}{2\left(1+\frac{h}{L}\left(\mu_1-\mu_2\right)\right)} \leqslant \frac{m g L}{2 h}\\
\left(\mu_1+\mu_2\right) m g \leqslant m g \cdot \frac{L}{h}+m g\left(\mu_1-\mu_2\right) \\
2 \mu_2 mg \leqslant m g \frac{L}{h} \\
h \leqslant \frac{L}{2 \mu_2} .
$$Итого, можно брать только $h \leqslant \frac{L}{2 \mu_2}$.
Чтобы $F$ была минимальной, по формуле $(**)$ нужно брать как можно больше $h$.
Итак, нужно взять $h =\frac{L}{2 \mu_2}$ (максимально возможное) и тогда $F=\mu_2mg$.