1  ^?? Поверхностные плотности $\sigma_{1}$ и $\sigma_{2}$ зарядов на пластинах конденсатора.

Пусть $E_{1}$ и $E_{2}$ – напряжённости однородных электрических полей в верхнем и нижнем слоях соответственно. Тогда падения напряжения на конденсаторе
$$
E_{1} \frac{d}{2}+E_{2} \frac{d}{2}=\mathscr{E}. \quad (1)
$$
Обозначим $I$ – ток, текущий через конденсатор. Запишем закон Ома для первого слоя:
$$
E_{1} \frac{d}{2}=I_{1} \frac{1}{\lambda_{1}} \frac{d / 2}{S}, \quad \text { следовательно } \quad E_{1}=\frac{I}{\lambda_{1} S}.
$$
Аналогично для второго слоя. Отсюда:
$$
\frac{E_{1}}{E_{2}}=\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}}. \quad (2)
$$
С учетом соотношения $(1)$, получим:
$$
E_{1}=\frac{2 \mathscr{E}}{d} \frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}} ; \quad E_{2}=\frac{2 \mathscr{E}}{d} \frac{\lambda_{1}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}}.
$$
Найдём теперь поверхностные плотности зарядов на пластинах конденсатора. По теореме Гаусса
$$
\sigma_{1}=\varepsilon_{0} E_{1}=\frac{2 \varepsilon_{0} \mathscr{E}}{d} \frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}}; \quad \sigma_{2}=-\varepsilon_{0} E_{2}=-\frac{2 \varepsilon_{0} \mathscr{E}}{d} \frac{\lambda_{1}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}}.
$$

2  ^?? Поверхностную плотность $\sigma$ заряда в плоскости контакта слоёв.

Пусть $\sigma$ – поверхностная плотность заряда в плоскости контакта. Полный заряд конденсатора, включающий заряды на пластинах и заряд в плоскости контакта слоёв, равен нулю:
$$
\sigma_{1}+\sigma_{1}+\sigma=0.
$$
Отсюда:
$$
\sigma=-\sigma_{1}-\sigma_{2}=\frac{2 \varepsilon_{0} \mathscr{E}}{d} \frac{\lambda_{1}-\lambda_{2}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}}.
$$