Когда нить вертикальна, скорость верхнего шарика $v$ направлена горизонтально. Из сохранения горизонтальной проекции импульса системы получаем, что скорость нижнего шарика равна по величине и противоположна по направлению скорости верхнего. Из закона сохранения энергии
$$
\frac{m v_{0}^{2}}{2}=2 \frac{m v^{2}}{2}+m g l,
$$
находим $v^{2}=v_{0}^{2} / 2-g l$.
В системе отсчёта (неинерциальной), в которой нижний шарик всё время неподвижен, верхний шарик движется по окружности радиуса $l$ и его скорость в рассматриваемый момент равна $2 v$, поэтому ускорение верхнего шарика направлено вниз и равно
$$
a=\frac{(2 v)^{2}}{l}.
$$
Ускорение нижнего шарика в рассматриваемый момент равно нулю, поэтому ускорение верхнего шарика относительно инерциальной системы отсчёта тоже равно $a=4 v^{2} / l$. В лабораторной системе отсчета верхний шарик движется со скоростью $v$, поэтому радиус кривизны его траектории
$$
R=\frac{v^{2}}{a}=\frac{l}{4}.
$$
Нижний шарик перестанет давить на плоскость, если сила натяжения нити $T=m g$. Второй закон Ньютона для верхнего шарика (см. рисунок):
$$
m \frac{4 v^{2}}{l}=m g+T.
$$
Поскольку $T=m g$, то, $2 v^{2}=g l$, откуда, с учётом выражения для $v$, получим $v_{0}^{2}=3 g l$. Таким образом, минимальное значение скорости равно
$$
v_{0}=\sqrt{3 g l}.
$$
$\textit{Примечания}$. $1$. Строго говоря, для полноты решения задачи нужно показать, что при найденном минимальном значении скорости натяжение нити не обращается в $0$ в течение всего времени движения, то есть нить не провисает. Прямое, но несколько громоздкое вычисление показывает, что это действительно так. От участников олимпиады этого рассуждения не требовалось.
$2$.Радиус кривизны траектории в верхней точке можно найти более прямолинейным способом, определив вид траектории. Действительно, выберем систему координат, начало которой расположено в начальном положении центра масс системы, а оси $x$ и $y$ направим горизонтально и вертикально соответственно. Пусть в некоторый момент времени нить образует угол $\alpha$ с горизонталью. Тогда координаты верхнего шарика
$$
x=\frac{l}{2} \cos \alpha, \quad y=l \sin \alpha.
$$
Здесь мы воспользовались тем, что центр масс системы не смещается по горизонтали, а нить не провисает. Заметим, что траектория верхнего шарика – эллипс с полуосями $l$ и $l / 2$ с центром в начале координат. В верхней точке траектории $x=0$, поэтому для нахождения радиуса кривизны нужно рассматривать малые $x$. Уравнение траектории
$$
y=l \sqrt{1-\left(\frac{2 x}{l}\right)^{2}} \approx l-\frac{2 x^{2}}{l}.
$$
С другой стороны, траекторию вблизи верхней точки можно приблизить окружностью радиуса $R$, центр которой из соображений симметрии лежит на оси $y$. Уравнения окружности
$$
y=l+\sqrt{R^{2}-x^{2}}-R \approx l-\frac{x^{2}}{2 R}.
$$
Сравнивая эти два уравнения, находим радиус кривизны
$$
R=\frac{l}{4}.
$$
Разумеется, ответ совпадает с полученным ранее из более физических соображений.