1  ^?? Через какое время $\tau$ тело достигнет горизонтальной поверхности при спуске без отрыва от горки?

При произвольном угле $\alpha$ на шайбу действует сила нормального давления $N$ и сила трения:
$$
F_{тр}=\mu N=N \operatorname{tg} \alpha.
$$
Вектор силы реакции $Q$ будет направлен к силе $N$ под таким углом, что $\operatorname{tg} \beta=F_{тр} / N=\operatorname{tg} \alpha$. Откуда $\beta=\alpha$, следовательно, сила реакции $Q$ направлена вертикально. Поэтому горизонтальная составляющая скорости будет постоянной и равной $v_{0}$.
Время движения:
$$
\tau=\frac{R \cos (\pi / 4)}{v_{0}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \frac{R}{v_{0}}.
$$

2  ^?? Чему равна работа $A_{тр}$ силы трения к этому моменту?

Скорость шайбы в момент достижения горизонтальной поверхности будет равна $v_{1}=\sqrt{2} v_{0}$. По закону сохранения энергии:
$$
\frac{m v_{0}^{2}}{2}+m g R+A_{тр}=\frac{m v_{1}^{2}}{2}+m g R \cos \frac{\pi}{4}.
$$
Окончательно:
$$
A_{тр}=-m\left(g R \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}-\frac{v_{0}^{2}}{2}\right).
$$

3  ^?? При каких величинах $v_{0}$ шайба не оторвётся от поверхности горки?

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на ось, перпендикулярную горке
$$
m \frac{\left(v_{0} / \cos \alpha\right)^{2}}{R}=m g \cos \alpha-N.
$$
Отрыв произойдет при $N=0$, при этом $v_{0}^{2}=g R \cos ^{3} \alpha$. Поскольку $0 \leq \alpha \leq \pi / 4$, то отрыва не будет при $v_{0} \leq \sqrt{g R /(2 \sqrt{2})}$. Заметим, что при этих значениях $v_{0}$ работа $A_{тр}$ всегда отрицательна, как и должно быть для работы диссипативных сил.