1  ^?? Найдите мощность $N$, которую развил источник постоянного напряжения к моменту размыкания ключа.

Пусть $I_{C}$ — сила тока, идущего на зарядку конденсатора, а $I_{R}$ — сила тока, протекающего через резистор $R_{2}$, включённый параллельно конденсатору, $I$ — ток через источник, $q_{R}$ — заряд, протекший через резистор $R_{2}$, $q_{C}$ — заряд конденсатора, $q$ — заряд, протекший через источник, $U$ — напряжение на конденсаторе и резисторе $R_{2}$. Тогда
$$
U=\frac{q}{C}=I_{R} R_{2}=\mathscr{E}-I R_{1},
$$
откуда находим
$$
I=\frac{\mathscr{E}-U}{R_{1}}, \quad I_{R}=\frac{U}{R_{2}}, \quad I_{C}=I-I_{R}=\frac{\mathscr{E}}{R_{1}}-U\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\right).
$$
Зависимость скорости изменения энергии конденсатора от напряжения на нём является квадратным трёхчленом
$$
P=U \cdot I_{C}=U\left[\frac{\mathscr{E}}{R_{1}}-U\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\right)\right],
$$
максимум которого находится посередине между его корнями
$$
U_{m}=\frac{\mathscr{E}}{2} \frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}, \quad I_{m}=\frac{\mathscr{E}}{2 R_{1}}.
$$
Ток через источник в этот момент
$$
I=I_{R}+I_{C}=\frac{U_{m}}{R_{2}}+I_{m}=\frac{\mathscr{E}}{2 R_{1}} \frac{2 R_{1}+R_{2}}{R_{1}+R_{2}},
$$
а искомая мощность источника равна
$$
N=\mathscr{E} I=\frac{\mathscr{E}^{2}}{2 R_{1}} \frac{2 R_{1}+R_{2}}{R_{1}+R_{2}}.
$$

2  ^?? Пусть сопротивления резисторов равны $R_{1}=R_{2}=R$. В этом случае скорость изменения энергии в конденсаторе достигает максимума через время
$$
t_{0}=C R \ln \sqrt{2}
$$
(это время можно найти, решая соответствующее дифференциальное уравнение, которое вам решать не нужно). Определите количество теплоты $Q$, которое выделится в цепи при замкнутом ключе $K$.

Запишем второе правило Кирхгофа для контура с резисторами $\left(R_{1}=R_{2}=R\right)$
$$
\mathscr{E}=I R_{1}+I_{R} R_{2}=\left(I+I_{R}\right) R,
$$
домножим это уравнение на $\Delta t$
$$
\mathscr{E} \Delta t=\left(I \Delta t+I_{R} \Delta t\right) R=\left(\Delta q+\Delta q_{R}\right) R
$$
и просуммируем по времени от $0$ до $t_{0}$:
$$
\mathscr{E} t_{0}=\left(q+q_{R}\right) R=\left(2 q-q_{C}\right) R. \quad\left(q_{R}=q-q_{C}\right)
$$
Отсюда с учётом
$$
q_{C}=C U_{m}=\frac{C \mathscr{E}}{2} \frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}=\frac{C \mathscr{E}}{4}
$$
находим $q$
$$
q=C \mathscr{E} \left(\frac{1}{8}+\frac{1}{4} \ln 2\right).
$$
Из закона сохранения энергии найдем количество теплоты $Q$, выделившееся в цепи при замкнутом ключе $К$:
$$
Q=\mathscr{E} q-\frac{q_{C}^{2}}{2 C}=\frac{C \mathscr{E}^{2}}{4}\left(\frac{3}{8}+\ln 2\right)=0.27 C \mathscr{E}^{2}.
$$