1  ^?? Найдите угловую скорость $\omega$ вращения стержня в момент времени $\tau$.

Рассмотрим момент времени $\tau$. Так как стержень не напряжен, то ускорение шайбы с массой $m_{2}$ равно нулю. Если выбрать инерциальную систему отсчета, в которой эта шайба в данный момент времени имеет нулевую скорость, то шайба с массой $m_{1}$ в этот момент движется по траектории, радиус кривизны которой равен $L$. Проекция второго закона Ньютона на стержень для шайбы $m_{1}$:
$$
m_{1} \omega^{2} L=F \cos \alpha,
$$
откуда угловая скорость вращения стержня в этот момент времени:
$$
\omega=\sqrt{\frac{F \cos \alpha}{L m_{1}}}.
$$

2  ^?? Найдите угловое ускорение стержня $d \omega / d t$.

Найдем угловое ускорение. За небольшой промежуток времени после начала действия силы шайба, к которой приложена сила, сместится в направлении, перпендикулярном к первоначальному направлению расположения стержня, на малое расстояние
$$
\Delta L_{попер}=\frac{F \sin \alpha}{m_{1}} \frac{t^{2}}{2}.
$$
Следовательно, стержень повернется на малый угол, равный
$$
\Delta \varphi=\frac{\Delta L_{попер}}{L}=\frac{F \sin \alpha}{m_{1} L} \frac{t^{2}}{2}.
$$
Так как в условии сказано, что угловое ускорение стержня является постоянным, то
$$
\Delta \varphi=\beta \frac{t^{2}}{2},
$$
отсюда получаем угловое ускорение
$$
\beta=\frac{F \sin \alpha}{L m_{1}}.
$$

3  ^?? Чему равен промежуток времени $\tau$?

Так как угловое ускорение постоянно, то $\omega=\beta \tau$, откуда
$$
\tau=\sqrt{\frac{L m_{1} \cos \alpha}{F \sin ^{2} \alpha}}.
$$

4  ^?? Найдите угол поворота стержня к моменту времени $\tau$.

Угол поворота к моменту времени $\tau$ равен
$$
\varphi=\frac{\beta \tau^{2}}{2}=\frac{\operatorname{ctg} \alpha}{2}.
$$