1  ^?? Определите потенциал в точке $C$ треугольной пластинки.

По принципу суперпозиции потенциал $\varphi_{2}$ равен удвоенному потенциалу $\varphi_{0}$ вершины равносторонней треугольной пластины со стороной $a$ и поверхностной плотностью заряда $\sigma$:
$$
\varphi_{2}=2 \varphi_{0}.
$$
Если размеры пластины увеличить в $2$ раза, сохранив поверхностную плотность заряда, то потенциал каждой точки тоже увеличится в $2$ раза. Для доказательства этого факта можно разбить исходную пластинку на маленькие части, которые можно считать точечными зарядами. В результате масштабирования площадь каждой части увеличится в $4$ раза, а значит заряд вырастет в $4$ раза, а расстояние до каждой части увеличится в $2$ раза. Учитывая, что потенциал точечного заряда равен $k q / r$, получим, что потенциал, создаваемый каждой маленькой частью, увеличится в $2$ раза, значит и общий потенциал вырастет вдвое. Значит потенциал точки $C$ в $2$ раза больше потенциала вершины пластины со стороной $a$,
$$
\varphi_{C}=2 \varphi_{0}=\varphi_{2}.
$$

2  ^?? Определите потенциал в точке $D$, лежащей на середине стороны треугольной пластинки.

Найдём потенциал точки $D$. Для этого мысленно разобьем треугольник на $4$ треугольника со сторонами $a$. Заметим, что $A E D F$ – это исходный ромб, который создает в точке $D$ потенциал $\varphi_{1}$. К нему нужно добавить потенциалы создаваемые треугольниками $B D E$ и $D F C$ (см. рисунок ниже).

Потенциал каждого из них в вершине равен $\varphi_{0}$. Отсюда
$$
\varphi_{D}=\varphi_{1}+2 \varphi_{0}=\varphi_{1}+\varphi_{2}.
$$

3  ^?? Определите потенциал в точке $D^{\prime}$ «дырявой» пластинки.

После удаления центрального треугольника потенциал в точке $D$ уменьшился на $\varphi_{0}$ и стал равен
$$
\varphi_{D}^{\prime}=\varphi_{D}-\varphi_{0}=\varphi_{1}+\frac{\varphi_{2}}{2} .
$$

4  ^?? Определите потенциал в точке $C^{\prime}$ «дырявой» пластинки.

Для нахождения потенциала точки $C$ «дырявой» пластины нужно узнать, какой потенциал создавал в ней треугольник $D E F$. Рассмотрим ромб $C F E D$. Его потенциал в точке $C$ равен $\varphi_{1}$ и складывается из потенциала создаваемого треугольником $D E F$ и потенциала $\varphi_{0}$, создаваемого треугольником $F D C$. Тогда треугольник $D E F$ создает в точке $C$ потенциал $\varphi_{1}-\varphi_{0}$. Значит после удаления центрального треугольника потенциал точки $C$ станет равным
$$
\varphi_{C}^{\prime}=\varphi_{C}-\left(\varphi_{1}-\varphi_{0}\right)=\frac{3}{2} \varphi_{2}-\varphi_{1}.
$$