Введём систему координат $YOX$, начало которой совпадает с центром первой линзы, ось $OX$ направлена вдоль главной оптической оси, а ось $OY$ перпендикулярно ей.
Пусть после преломления в $i-ой$ линзе луч направлен под углом $\alpha_i$ к главной оптической оси, а координата $y$ при преломлении в ней - $y_i$. Тогда после построения хода луча в $i-ой$ линзе получим
$$F(\alpha_{i}-\alpha_{i+1})=y_i
$$
Поскольку линзы находятся очень близко, изменение угла можно считать непрерывным, а отсюда
$$\alpha_{i+1}-\alpha_{i}=\frac{d\alpha}{dx}\cdot{d}
$$
Комбинируя последние два выражения
$$\frac{d\alpha}{dx}=-\frac{y}{Fd}
$$
С другой стороны
$$\alpha=\frac{dy}{dx}
$$
Дифференцируя последнее соотношение по $x$, получаем уравнение гармонических колебаний
$$\frac{d^2{y}}{dx^2}=-\frac{y}{Fd}
$$
решением которого с учётом начальных условий
$$y(0)=0
$$
является
$$y=A\sin\left(\frac{x}{\sqrt{Fd}}\right)
$$
Решениями уравнения $y(L)=0$ являются
$$L={\pi}N\sqrt{Fd}
$$
Минимум достигается при $N=1$, и окончательно
$$L_{min}={\pi}\sqrt{Fd}
$$