Logo
Logo

Воздушная подушка

Разбалловка

A1  0.50 Выразите $c_V$ и $c_P$ через $r$ и $\gamma$. Найдите их значения.

1 $$ c_V=\frac{r}{\gamma-1}= \frac{5}{2} \: r \approx 718 \frac{Дж}{кг \cdot К} $$ 0.25
2 $$ c_P=\frac{\gamma{r}}{\gamma-1}= \frac{7}{2} \: r \approx 1005 \frac{Дж}{кг \cdot К} $$ 0.25
A2  0.50 Как зависит отношение давления в цилиндрической полости к атмосферному $P_0/P_{atm}$ от веса платформы и геометрических параметров системы?

1 $$ \frac{P_0}{P_{atm}}=1+\frac{4W}{{P_{atm}} \pi D^2} $$ 0.25
2 $$ \frac{P_0}{P_{atm}}= (7,18+0,05) $$ 0.25
B1  0.50 Выразите скорость движения возмущенной области газа $v$ через $c$, $\rho$ и $\rho_0$.

1 Корректно записан закон сохранения массы 0.30
2 $$ v=c\left(1-\frac{\rho_0}{\rho}\right) $$ 0.20
B2  1.00 Выразите разность давлений $P-P_0$ через $\rho$, $\rho_0$, и $c$.

1 Использование закона изменения импульса. Балл засчитывается, если вместо $\rho_0$ используется $\rho$. 0.50
2 $$ (P-P_0)=\left(1-\frac{\rho_0}{\rho}\right) \rho_0 c^2 $$ 0.50
B3  0.50 Выразите $c$ через $\gamma, r, T$.

1 M1 Получен верный ответ $$c=\sqrt{{\gamma{rT}}} $$ 0.50
2 M2 Использована идея непрерывного перехода $\rho \rightarrow \rho_0$. 0.20
3 M2 Производная вычисляется при постоянной энтропии (адиабатический процесс) 0.20
4 M2 $$c=\sqrt{{\gamma{rT}}} $$ 0.10
5 При неверном численном коэффициенте в выражении для $c$ ответы для пунктов $B_3$ и $B_4$ оцениваются в 0 баллов, при этом последующие баллы ставятся при верных дальнейших преобразованиях с учётом найденного $c$. 0.00
B4  0.50 Рассчитайте скорость звука в воздухе при заданной температуре $T_0$ окружающей среды.

1 $$c_0= \sqrt{\gamma r T_0} = (347 \pm 3) м/с $$ 0.50
B5  1.00 Выразите массовый расход $dm/dt$ через $M, \gamma, T/T_0$ и соотношение $P_0A\gamma/c_0$, где $c_0$ — скорость звука при температуре $T_0$.

1 $$\frac{dm}{dt}=\frac{PAcM}{rT} $$ 0.10
2 $$\frac{dm}{dt}=\frac{\gamma{AMP}}{c_0}\sqrt{\frac{T_0}{T}} $$ 0.20
3 $$P={P_0}\left(\frac{T}{T_0}\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}} $$ 0.20
4 $$\frac{dm}{dt}=\frac{P_0{A\gamma}}{c_0}M\left(\frac{T}{T_0}\right)^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}} $$ 0.50
B6  0.50 Выразите скорость газа $v$ через $M, T, r$ и $\gamma$.

1 $$v=Mc=M\sqrt{{\gamma{rT}}} $$ 0.50
B7  1.50 Используя уравнение Бернулли для сжимаемого газа в виде $\cfrac{v^2}{2}+c_PT=\mathrm{const}$, найдите отношение температур $T/T_0$ через $M$ и $\gamma$.

1 $$T((\gamma-1)M^2+2)=const $$ 0.50
2 $$T((\gamma-1)M^2+2)= 2T_0 $$ 0.80
3 $$\frac{T}{T_0}=\frac{2}{2+(\gamma-1)M^2} $$ 0.20
C1  1.00 Выразите $dm/dt$ через $M, \gamma$ и $P_0A\gamma/c_0$, и схематично нарисуйте эту зависимость от $M$ для $M\in[0;1]$. Найдите такое значение $M$, для которого поток достигает своего максимального значения (этот режим называется критическим).

1 Верно вычислена производная $\frac{\partial}{\partial M} \left( \frac{dm}{dt} \right)$ (для своего выражения). 0.50
2 $$M=1$$ 0.50
C2  1.00 Пусть компрессор выдает поток $5.0~\text м^3/\text{мин}$. Рассчитайте значения $\varepsilon, T, P, v$ и $\rho$ выходного потока в критическом режиме.

1 $$T=\frac{2T_0}{1+\gamma} \\ P={P_0}\left(\frac{2}{1+\gamma}\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}} \\ \rho=\frac{P_0}{rT_0}\left(\frac{2}{1+\gamma}\right)^{\frac{1}{\gamma-1}} \\ v=\sqrt{\frac{2{\gamma}rT_0}{\gamma+1}} \\ \varepsilon=\frac{I}{c_0 \pi D} \frac{P_{atm}}{P_0} \left(\frac{1+\gamma}{2}\right)^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}} $$ 5 × 0.10
2 M1 $$T= 250К \\ P= 3,83 \cdot 10^5 Па \\ \rho= 5,34 \: кг / м^3 \\ v= 317 \: м/с \\ \varepsilon=0,34 \: мм $$ 5 × 0.10
3 M2 $$T= 250К \\ P= 0,53 \cdot 10^5 Па \\ \rho= 0,74 \: кг / м^3 \\ v= 317 м/с \\ \varepsilon=0,047 мм $$ 5 × 0.10
D1  1.50 Рассчитайте значения $M, T, P, v$ и $\rho$ вытекающего газа при $\varepsilon=0.5~\text{мм}$ и $dm/dt=0.1~\text{кг/с}$.

1 M1 Идея решения уравнения относительно $M$ численно 0.50
2 M2 Обоснованное приближение $M \ll 1$ 0.50
3 M1 $$ M= 0,055 \pm 0,005 \\ T = (297 \pm 1) К \\ P= (6,98 \pm 0,10 ) \cdot 10^5 Па \\ \rho= (8,20 \pm 0,10) кг/м^3 \\ v= (18,8 \pm 1,0) м/c $$ 5 × 0.20
4 M2 $$ M = 0,44 \pm 0,05 \\ T = (276 \pm 1) К \\ P = (0,75 \pm 0,05 ) \cdot 10^5 Па \\ \rho = (0,95 \pm 0,05) кг/м^3 \\ v= (147 \pm 10) м/c $$ 5 × 0.20