Logo
Logo

Воздушная подушка

Воздушная подушка часто используется чтобы перемещать тяжелые грузы. В этой задаче мы исследуем принцип ее работы, который схематично изображен на рисунке ниже.

Рассмотрим следующую конфигурацию системы. Под платформой расположено цилиндрическое пространство диаметром $D=40~\text{см}$ и высотой $h=10~\text{см}$, в которое нагнетается воздух. Температура окружающего воздуха равна $T_0=300~\text{К}$, атмосферное давление $P_{atm}=1.01\cdot 10^5~\text{Па}$. Вес платформы и окружающих конструкций составляет $W=78.48~\text{кН}$. Когда сила давления воздуха превышает эту величину, платформа приподнимается, образуя с поверхностью зазор ширины $\varepsilon$. Считайте, что компрессор поддерживает постоянный поток воздуха.

В задаче воздух можно считать идеальным газом. Течение газа считать адиабатическим и равновесным. Нас в основном будут интересовать стационарные режимы работы.

Для численных расчетов в задаче используйте значения молярной массы воздуха $\mu=29.0~\text{г/моль}$ и $\gamma=c_P/c_V=1.4$. Также для удельных теплоемкостей при постоянном давлении и объеме справедливо соотношение $c_P-c_V=r$, где $r=287~\text{Дж/(кг}\cdot\text{К)}$, и уравнение состояния можно записать в виде $P=\rho rT$.

Часть A. Равновесие платформы (1 балл)

A1  0,50 Выразите $c_V$ и $c_P$ через $r$ и $\gamma$. Найдите их значения.

A2  0,50 Как зависит отношение давления в цилиндрической полости к атмосферному $P_0/P_{atm}$ от веса платформы и геометрических параметров системы?

Часть B. Основы работы воздушной подушки (5.5 балла)

Массовый расход газа при истечении через зазор у поверхности. задается выражением $dm/dt=\rho vA$, где $v$ и $\rho$~— скорость и плотность вытекающего газа.

Рассмотрим некоторый скачок плотности и давления газа, распространяющийся со скоростью $c$ в трубке единичного сечения. Возмущённая область газа движется со скоростью $v$, а невозмущённая покоится. Пусть давление и плотность в возмущенной области газа равны $P$ и $\rho$ соответственно, а в невозмущенной~— $P_0$ и $\rho_0$ соответственно. Температура в невозмущённой области газа равна $T$.
Некоторые из дальнейших рассуждений удобно проводить в системе отсчёта, в которой волновой фронт (граница невозмущенной области) покоится.

B1  0,50 Выразите скорость движения возмущенной области газа $v$ через $c$, $\rho$ и $\rho_0$.

B2  1,00 Выразите разность давлений $P-P_0$ через $\rho$, $\rho_0$, и $c$.

B3  0,50 Выразите $c$ через $\gamma, r, T$.

B4  0,50 Рассчитайте скорость звука в воздухе при заданной температуре $T_0$ окружающей среды.

Когда газ вытекает из-под платформы, он адиабатически расширяется, и его температура $T$ будет отличной от $T_0$.
Для удобства можно ввести число Маха, равное $M=v/c$, где $c$ - скорость звука в вытекающем газе, таким образом массовый расход можно переписать в виде $dm/dt=\rho AMc$.

B5  1,00 Выразите массовый расход $dm/dt$ через $M, \gamma, T/T_0$ и соотношение $P_0A\gamma/c_0$, где $c_0$~— скорость звука при температуре $T_0$.

B6  0,50 Выразите скорость газа $v$ через $M, T, r$ и $\gamma$.

B7  1,50 Используя уравнение Бернулли для сжимаемого газа в виде $\cfrac{v^2}{2}+c_PT=\mathrm{const}$, найдите отношение температур $T/T_0$ через $M$ и $\gamma$.

Часть C. Критический режим течения газа (2.0 балла)

Можно показать, что когда газ течет из узкого места в широкое, скорость потока $v$ не может превысить скорость звука в этой среде (т.е. $M\le1$). Когда нагнетаемый поток воздуха меняется, меняется и скорость истечения газа $v$. Для достаточно больших потоков, скорость $v$ может достичь максимального значения $c$.

C1  1,00 Выразите $dm/dt$ через $M, \gamma$ и $P_0A\gamma/c_0$, и схематично нарисуйте эту зависимость от $M$ для $M\in[0;1]$. Найдите такое значение $M$, для которого поток достигает своего максимального значения (этот режим называется критическим).

C2  1,00 Пусть компрессор выдает поток $5.0~\text м^3/\text{мин}$. Рассчитайте значения $\varepsilon, T, P, v$ и $\rho$ выходного потока в критическом режиме.

Часть D. Неровность поверхности (1.5 балла)

На практике неровности поверхности не позволяют зазору $\varepsilon$ принять значение выше 0.5 мм, таким образом критический режим не может быть достигнут.

D1  1,50 Рассчитайте значения $M, T, P, v$ и $\rho$ вытекающего газа при $\varepsilon=0.5~\text{мм}$ и $dm/dt=0.1~\text{кг/с}$.