Logo
Logo

Воздушная подушка

Воздушная подушка часто используется чтобы перемещать тяжелые грузы. В этой задаче мы исследуем принцип ее работы, который схематично изображен на рисунке ниже.

Рассмотрим следующую конфигурацию системы. Под платформой расположено цилиндрическое пространство диаметром $D=40 \text{см}$ и высотой $h=10 \text{см}$, в которое нагнетается воздух. Температура окружающего воздуха равна $T_0=300 \text{К}$, атмосферное давление $P_{atm}=1.01\cdot 10^5 \text{Па}$. Вес платформы и окружающих конструкций составляет $W=78.48 \text{кН}$. Когда сила давления воздуха превышает эту величину, платформа приподнимается, образуя с поверхностью зазор ширины $\varepsilon$. Считайте, что компрессор поддерживает постоянный поток воздуха.

В задаче воздух можно считать идеальным газом. Течение газа считать адиабатическим и равновесным. Нас в основном будут интересовать стационарные режимы работы.

Для численных расчетов в задаче используйте значения молярной массы воздуха $\mu=29.0 \text{г/моль}$ и $\gamma=c_P/c_V=1.4$. Также для удельных теплоемкостей при постоянном давлении и объеме справедливо соотношение $c_P-c_V=r$, где $r=287 \text{Дж/(кг}\cdot\text{К)}$, и уравнение состояния можно записать в виде $P=\rho rT$.
Часть A. Равновесие платформы (1 балл)
A1  0.50 Выразите $c_V$ и $c_P$ через $r$ и $\gamma$. Найдите их значения.
A2  0.50 Как зависит отношение давления в цилиндрической полости к атмосферному $P_0/P_{atm}$ от веса платформы и геометрических параметров системы?
Часть B. Основы работы воздушной подушки (5.5 балла)
Массовый расход газа при истечении через зазор у поверхности. задается выражением $dm/dt=\rho vA$, где $v$ и $\rho$ --- скорость и плотность вытекающего газа.
Рассмотрим некоторый скачок плотности и давления газа, распространяющийся со скоростью $c$ в трубке единичного сечения. Возмущённая область газа движется со скоростью $v$, а невозмущённая покоится. Пусть давление и плотность в возмущенной области газа равны $P$ и $\rho$ соответственно, а в невозмущенной --- $P_0$ и $\rho_0$ соответственно. Температура в невозмущённой области газа равна $T$.
Некоторые из дальнейших рассуждений удобно проводить в системе отсчёта, в которой волновой фронт (граница невозмущенной области) покоится.
B1  0.50 Выразите скорость движения возмущенной области газа $v$ через $c$, $\rho$ и $\rho_0$.
B2  1.00 Выразите разность давлений $P-P_0$ через $\rho$, $\rho_0$, и $c$.
B3  0.50 Выразите $c$ через $\gamma, r, T$.
B4  0.50 Рассчитайте скорость звука в воздухе при заданной температуре $T_0$ окружающей среды.
Когда газ вытекает из-под платформы, он адиабатически расширяется, и его температура $T$ будет отличной от $T_0$.
Для удобства можно ввести число Маха, равное $M=v/c$, где $c$ - скорость звука в вытекающем газе, таким образом массовый расход можно переписать в виде $dm/dt=\rho AMc$.
B5  1.00 Выразите массовый расход $dm/dt$ через $M, \gamma, T/T_0$ и соотношение $P_0A\gamma/c_0$, где $c_0$ --- скорость звука при температуре $T_0$.
B6  0.50 Выразите скорость газа $v$ через $M, T, r$ и $\gamma$.
B7  1.50 Используя уравнение Бернулли для сжимаемого газа в виде $\cfrac{v^2}{2}+c_PT=\mathrm{const}$, найдите отношение температур $T/T_0$ через $M$ и $\gamma$.
Часть C. Критический режим течения газа (2.0 балла)
Можно показать, что когда газ течет из узкого места в широкое, скорость потока $v$ не может превысить скорость звука в этой среде (т.е. $M\le1$). Когда нагнетаемый поток воздуха меняется, меняется и скорость истечения газа $v$. Для достаточно больших потоков, скорость $v$ может достичь максимального значения $c$.
C1  1.00 Выразите $dm/dt$ через $M, \gamma$ и $P_0A\gamma/c_0$, и схематично нарисуйте эту зависимость от $M$ для $M\in[0;1]$. Найдите такое значение $M$, для которого поток достигает своего максимального значения (этот режим называется критическим).
C2  1.00 Пусть компрессор выдает поток $5.0 \text м^3/\text{мин}$. Рассчитайте значения $\varepsilon, T, P, v$ и $\rho$ выходного потока в критическом режиме.
Часть D. Неровность поверхности (1.5 балла)
На практике неровности поверхности не позволяют зазору $\varepsilon$ принять значение выше 0.5 мм, таким образом критический режим не может быть достигнут.
D1  1.50 Рассчитайте значения $M, T, P, v$ и $\rho$ вытекающего газа при $\varepsilon=0.5 \text{мм}$ и $dm/dt=0.1 \text{кг/с}$.