A1  ^0.50 Выразите $c_V$ и $c_P$ через $r$ и $\gamma$. Найдите их значения.

Воспользуемся заданными в условии формулами
$$
\begin{cases}
c_P - c_V = r \\
c_P/c_V = \gamma
\end{cases}
$$

A2  ^0.50 Как зависит отношение давления в цилиндрической полости к атмосферному $P_0/P_{atm}$ от веса платформы и геометрических параметров системы?

Из условия равновесия платформы получим
$$
(P_0-P_{atm})\frac{{\pi}D^2}{4}=W,
$$
откуда:

B1  ^0.50 Выразите скорость движения возмущенной области газа $v$ через $c$, $\rho$ и $\rho_0$.

Выделим мысленно область, ограниченную двумя положениями волнового фронта: в моменты времени $t$ и $t + \Delta t$. Рассмотрим изменение массы газа в рассматриваемой области:
$$
m(t) = \rho_0 Ac \: \Delta t \\
m(t + \Delta t) = \rho Ac \: \Delta t
$$
С другой стороны, суммарный поток массы (втекающий) через обе грани равен
$$
\frac{dm}{dt} = \rho v A
$$
откуда
$$
m(t + \Delta t) - m(t) = \frac{dm}{dt} \Delta t \\
(\rho - \rho_0) c = \rho v
$$

B2  ^1.00 Выразите разность давлений $P-P_0$ через $\rho$, $\rho_0$, и $c$.

Из закона изменения импульса невозмущённой части газа получим
$$(P-P_0)A=\frac{dp}{dt}=v\frac{dm}{dt}={\rho_0}Acv
$$
Подставляя выражение для $v$ из предыдущего пункта, получим

B3  ^0.50 Выразите $c$ через $\gamma, r, T$.

$$c^2=\frac{\rho}{\rho_0} \frac{P-P_0}{\rho-\rho_0}
$$
Поскольку давление газа должно изменяться непрерывно
$$c^2=\frac{dP}{d\rho}
$$
Течение газа считается адиабатическим, поэтому
$$P{\rho}^{-\gamma}=const
$$
дифференцируя данное соотношение, получим
$$\frac{dP}{d\rho}=\gamma\frac{P}{\rho}=\gamma{rT}
$$
и окончательно

B4  ^0.50 Рассчитайте скорость звука в воздухе при заданной температуре $T_0$ окружающей среды.

B5  ^1.00 Выразите массовый расход $dm/dt$ через $M, \gamma, T/T_0$ и соотношение $P_0A\gamma/c_0$, где $c_0$~— скорость звука при температуре $T_0$.

Выражение для массового расхода принимает вид
$$\frac{dm}{dt}={\rho}A{c}{M}
$$
Выразим $\rho$ из уравнения Менделеева-Клапейрона
$$\frac{dm}{dt}=\frac{PAcM}{rT}
$$
Комбинируя последнее выражение с результатом предыдущего пункта
$$\frac{dm}{dt}=\frac{\gamma{AMP}}{c_0}\sqrt{\frac{T_0}{T}}
$$
Поскольку процесс протекает адиабатически
$$T^{\gamma}P^{1-\gamma}=const
$$
Откуда
$$P={P_0}\left(\frac{T}{T_0}\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}
$$
Подставим данное соотношение в выражение для $\frac{dm}{dt}:$

B6  ^0.50 Выразите скорость газа $v$ через $M, T, r$ и $\gamma$.

B7  ^1.50 Используя уравнение Бернулли для сжимаемого газа в виде $\cfrac{v^2}{2}+c_PT=\mathrm{const}$, найдите отношение температур $T/T_0$ через $M$ и $\gamma$.

Подставляя полученные ранее выражения для $v$ и $c_P$
$$rT\left(\frac{{\gamma}M^2}{2}+\frac{\gamma}{\gamma-1}\right)=const
$$
или же
$$T((\gamma-1)M^2+2)=const
$$
откуда

C1  ^1.00 Выразите $dm/dt$ через $M, \gamma$ и $P_0A\gamma/c_0$, и схематично нарисуйте эту зависимость от $M$ для $M\in[0;1]$. Найдите такое значение $M$, для которого поток достигает своего максимального значения (этот режим называется критическим).

Комбинируя результаты пунктов $B5$ и $B7$
$$\frac{dm}{dt}=\frac{P_0{A\gamma}}{c_0}M\left(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2\right)^{-\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}}
$$
дифференцируя по $M$
$$1+\frac{\gamma-1}{2}M^2+\frac{M(\gamma+1)}{2(1-\gamma)}\cdot{M(\gamma-1)}=0
$$
откуда

C2  ^1.00 Пусть компрессор выдает поток $5.0~\text м^3/\text{мин}$. Рассчитайте значения $\varepsilon, T, P, v$ и $\rho$ выходного потока в критическом режиме.

Для критического режима

Теперь найдём значения давления и плотности из уравнения Пуассона:
$$
P^{1-\gamma} \: T^{\gamma} = const \\
P \propto T^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}
$$

Плотность входящего воздуха
$$\rho_0=\frac{P_0}{rT_0}
$$
откуда также из уравнения Пуассона

Поскольку $M=1$, с учётом найденной температуры

Найдём $\varepsilon$. Подставим температуру $T$ в выражение для массового расхода
$$\frac{dm}{dt}=I\frac{P_{atm}}{rT_0}=\frac{{\gamma}P_0A}{c_0}\left(\frac{2}{1+\gamma}\right)^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}}
$$
где
$$A={\pi}D{\varepsilon}
$$
откуда

D1  ^1.50 Рассчитайте значения $M, T, P, v$ и $\rho$ вытекающего газа при $\varepsilon=0.5~\text{мм}$ и $dm/dt=0.1~\text{кг/с}$.

Идея решения данного пункта схожа с пунктом $C2$, но за тем исключением, что для начала необходимо определить число Маха $M$.
Получим выражение для массового расхода как функцию $M$
$$\frac{dm}{dt}=\frac{P_{0}{A\gamma}}{c_0}M\left(\frac{T}{T_0}\right)^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}}=\frac{P_0{{\pi}{\varepsilon}D\gamma}}{c_0}M\left(1+\frac{({\gamma}-1)M^2}{2}\right)^{\frac{\gamma+1}{2(1-\gamma)}}
$$
Решая данное уравнение на калькуляторе, получим

Найдя $M$, по ранее полученным формулам находим