Logo
Logo

Фонтанирующая цепочка

Разбалловка

А1  0,80 Найдите ускорение нижнего конца цепи, если известно, что оно постоянно.

А1. 1 Любое соотношение для кинематики равноускоренного движения. Например: $h=\cfrac{at^2}{2}$, $v=at$. 0,10
А1. 2 $F \cdot dt = dp$
(баллы не ставятся, если записан 2-й закон Ньютона и масса считается неизменной)
0,20
А1. 3 Ответ: $a=\cfrac{g}{3}$ 0,50
B1  0,30 Считая, что потери механической энергии звеньев происходят только при ударе их о пол, а всё предыдущее время механическая энергия сохраняется, найдите скорость $v$ установившегося равномерного движения цепи.

B1. 1 Ответ: $v=\sqrt{2gh}$ 0,30
B2  0,50 Чему равно натяжение цепи $T_f$ в точках, подлетающих к полу? Каково натяжение цепи $T(h)$ в точках, находящихся на $h$ выше уровня пола? Одинаково ли натяжение в находящихся на одинаковой высоте точках левого и правого отрезков цепи?

B2. 1 Ответ: $T_f=0$ 0,20
B2. 2 Ответ: $T(h) = \lambda gh$ 0,20
B2. 3 указано, что слева и справа натяжение одинаково 0,10
B3  0,50 Запишите закон изменения импульса и рассчитайте силу натяжения $T_t$ в точках цепи, близких к уровню стола. Ответ выразите с использованием $v$.

B3. 1 Ответ: $T_t = \lambda v^2$ 0,50
B4  0,20 Опираясь на результаты пунктов B2 и B3, выразите искомую скорость $v$.

B4. 1 Ответ: $v=\sqrt{gh}$
(засчитывается только если зачтены B2.1, B2.2 и B3)
0,20
B5  0,20 Какая механическая энергия за единицу времени $\cfrac{\Delta W_f}{\Delta t}$ переходит в тепло при неупругих ударах упавших звеньев о пол?

B5. 1 Ответ: $\cfrac{\Delta W_f}{\Delta t} = \cfrac {\lambda v^3}{2} = \cfrac {\lambda \cdot (gh)^{3/2}}{2}$
(в любом из этих двух представлений)
0,20
B6  0,50 Рассчитайте потери механической энергии за единицу времени $\cfrac{\Delta W_t}{\Delta t}$ при неупругих ударах новых звеньев об уже взлетевшие.

B6. 1 Ответ: $\cfrac{\Delta W_t}{\Delta t} = \cfrac {\lambda v^3}{2} = \cfrac {\lambda \cdot (gh)^{3/2}}{2}$
(в любом из этих двух представлений)
0,50
B7  0,10 Найдите отношение $\cfrac{\Delta W_t}{\Delta W_f}$ потерь энергии на столе и на полу.

B7. 1 Ответ: $\cfrac{\Delta W_t}{\Delta W_f} = 1$
(засчитывается только если зачтены B5 и B6)
0,10
B8  0,20 Если рассмотреть одни и те же звенья ДО их отрыва от стола и ПОСЛЕ их преземления на пол, то можно рассчитать изменение их потенциальной энергии. Покажите, что оно совпадает с суммой потерь на столе и на полу.

B8. 1 Зачтены B5, B6 и приведена выкладка наподобие следующей:
$\cfrac{\Delta E_{пот}}{\Delta t} = \cfrac {(\lambda \cdot v \cdot dt) \cdot g \cdot h}{dt} = \lambda \cdot (gh)^{3/2} = \cfrac {\Delta W_f}{\Delta t} + \cfrac {\Delta W_t}{\Delta t}$
0,20
C1  0,20 По аналогии с пунктами B2 и B3 запишите выражения для сил натяжения цепи в разных точках: $T_t$ (над столом), $T_c$ (в петле вблизи потолка), $T_f$ (вблизи пола).

C1. 1 Ответ: $T_t = \lambda v^2 = \lambda gh_1$
(засчитывается любая из этих двух записей)
0,10
C1. 2 Ответ: $T_c = \lambda g (h_1 + h_2)$ 0,05
C1. 3 Ответ: $T_f = 0$ 0,05
C2  0,40 Объединив записанные выражения с законом изменения импульса, решите систему уравнений и получите выражения для $v$ и для предполагаемой высоты «фонтана» $h_2$.

C2. 1 Записано $T_c = \lambda v^2$ 0,20
C2. 2 Ответ: $v = \sqrt{gh_1}$ 0,10
C2. 3 Ответ: $h_2 = 0$ 0,10
C3  0,20 Чему равны коэффициенты $\alpha$ и $\beta$ в упрощенной модели, рассмотренной ранее в пункте C1?

C3. 1 Ответ: $\alpha = 0$ 0,10
C3. 2 Ответ: $\beta = 0$ 0,10
C4  0,60 В описанных новых предположениях повторите выкладки, аналогичные пункту C2, и получите выражения для $\cfrac{h_2}{h_1}$ и для отношения $\cfrac{E_\text{кин}}{E_\text{пот}}$ кинетической энергии летящего звена к его начальной потенциальной энергии (отсчитываемой от уровня пола).

C4. 1 Записана система уравнений:
$$
\begin{cases}
T_c = \lambda v^2 = \beta \lambda v^2 + \lambda g (h_1 + h_2) \\
T_t + R = \lambda v^2 = \left( \beta \lambda v^2 + \lambda g h_1 \right) + \alpha \lambda v^2
\end{cases}
$$
0,20
C4. 2 Ответ: $\cfrac{h_2}{h_1} = \cfrac{\alpha}{1-\alpha-\beta}$ 0,20
C4. 3 Ответ: $\cfrac{E_\text{кин}}{E_\text{пот}} = \cfrac{1}{2(1-\alpha-\beta)}$ 0,20
C5  0,60 Какому условию должны удовлетворять $\alpha$ и $\beta$, чтобы не нарушался закон сохранения энергии? При каких значениях $\alpha_0$ и $\beta_0$ достигается максимальная допустимая высота «фонтана»? Чему равны соответствующие этой оценке отношения $\left( \cfrac{h_2}{h_1} \right)_{max}$ и $\left( \cfrac{E_\text{кин}}{E_\text{пот}} \right) _{max}$?

C5. 1 Ответ: неравенство $\alpha + \beta \leq \cfrac{1}{2}$ 0,20
C5. 2 Ответ: $\alpha = \cfrac{1}{2}$ и $\beta=0$ 0,20
C5. 3 Ответ: $\left( \cfrac{h_2}{h_1} \right)_{max} = 1$ 0,10
C5. 4 Ответ: $\left( \cfrac{E_\text{кин}}{E_\text{пот}} \right) _{max} = 1$ 0,10
D1  0,20 По графику рассчитайте экспериментальный коэффициент $\left( \cfrac{h_2}{h_1} \right)_{exp}$.

D1. 1 $\left( \cfrac{h_2}{h_1} \right)_{exp} \in [0.130; 0.140]$ 0,20
E1  1,10 Рассчитайте, какая сила $R$ должна подействовать на левый конец звена для возникновения такого движения. Ответ выразите через $m$, $b$, $I$, $\lambda$.

E1. 1 Второй закон Ньютона: $T_t+R = m \cdot a_c$ 0,10
E1. 2 Вращательный закон Ньютона: $T_t \cdot b = \left( I + m \left(\cfrac{b}{2}\right)^2 \right) \cdot \varepsilon$ 0,20
E1. 3 Кинематическая связь ускорений: $\varepsilon = \cfrac {a_c}{b/2}$ 0,10
E1. 4 Из закона изменения импульса: $T_t + R = \lambda v^2$ 0,20
E1. 5 Ответ: $R = \lambda v^2 \cdot \left( \cfrac{1}{2} - \cfrac{2I}{mb^2} \right)$ 0,50
E1. 6 Штраф, если итоговое выражение для $R$ содержит $T_t$ -0,20
E2  0,30 Считая, что цепь - соединенные друг с другом «штырьки» (т.е. звенья - тонкие цилиндры), рассчитайте $\alpha_\text{шт.}$ - численное значение коэффициента, введенного ранее соотношением $R=\alpha \lambda v^2$. Примите $\beta \approx 0$ и найдите $\left( \cfrac{h_2}{h_1} \right)_\text{шт.}$.

E2. 1 $I_\text{шт.} = \cfrac{mb^2}{12}$ 0,10
E2. 2 Ответ: $\alpha_\text{шт.}=\cfrac{1}{3}$ 0,10
E2. 3 Ответ: $\left(\cfrac{h_2}{h_1}\right)_\text{шт.} = \cfrac{1}{2}$ 0,10
E3  0,30 Считая теперь звенья тонкими обручами, рассчитайте $\alpha_\text{обр.}$. Примите $\beta \approx 0$ и найдите $\left( \cfrac{h_2}{h_1} \right)_\text{обр.}$.

E3. 1 $I_\text{обр.} = \cfrac{mb^2}{8}$ 0,10
E3. 2 Ответ: $\alpha_\text{обр.}=\cfrac{1}{4}$ 0,10
E3. 3 Ответ: $\left(\cfrac{h_2}{h_1}\right)_\text{обр.} = \cfrac{1}{3}$ 0,10
E4  0,30 Рассчитайте $\alpha_3$. Примите $\beta \approx 0$ и найдите $\left( \cfrac{h_2}{h_1} \right)_3$.

E4. 1 $I_3 = \cfrac{mb^2}{6}$ 0,10
E4. 2 Ответ: $\alpha_3=\cfrac{1}{6}$ 0,10
E4. 3 Ответ: $\left(\cfrac{h_2}{h_1}\right)_3 = \cfrac{1}{5}$ 0,10
F1  1,00 Записав второй закон Ньютона в проекции на касательную к цепочке и на перпендикуляр к ней, получите систему дифференциальных уравнений, связывающих функции $T(s)$, $\theta(s)$ и содержащих постоянные $\lambda$ и $g$. Решать систему не требуется.

F1. 1 Ответ: $\cfrac{dT}{ds} = \pm~ \lambda \cdot g \cdot \sin \theta$ 0,30
F1. 2 Знак $\pm$ верно соотносится с выбранным направлением отсчета $\theta$: "плюс" - если по часовой стрелке 0,20
F1. 3 Ответ: $T \cdot \cfrac{d \theta}{ds} = \pm \lambda \cdot g \cdot \cos \theta$
(не засчитывается при ошибках в знаках или коэффициентах)
0,50
F2  1,00 Аналогично пункту F1, запишите систему дифференциальных уравнений, связывающих функции $T(s)$ и $\theta(s)$ для линии «фонтана». Решать систему не требуется.

F2. 1 Ответ: $\cfrac{dT}{ds} = \pm~ \lambda \cdot g \cdot \sin \theta$ 0,20
F2. 2 Знак $\pm$ верно соотносится с выбранным направлением отсчета $\theta$: "плюс" - если по часовой стрелке 0,10
F2. 3 Связь кривизны с производной угла: $\cfrac{1}{R} = \cfrac{(\pm d \theta)}{ds}$ 0,20
F2. 4 Знак $\pm$ в формуле для кривизны верно соотносится с выбранным направлением отсчета $\theta$ и выбранным направлением R: "плюс" - если радиус направлен в сторону увеличения $\theta$ 0,10
F2. 5 Ответ: $\left( T - \lambda v^2 \right) \cdot \cfrac{d \theta}{ds} = \pm \lambda \cdot g \cdot \cos \theta$
(не засчитывается при ошибках в знаках или коэффициентах)
0,40
F3  0,50 Пусть $T (s)$ - натяжение в линии фонтана, т.е. функция, удовлетворяющая уравнениям из пункта F2. Функция $(T(s)-\tau)$ удовлетворяет системе уравнений для цепной линии из пункта F1 при некотором значении постоянной $\tau$. Выразите $\tau$.

F3. 1 Ответ: $\tau = \lambda v^2$
(засчитывается только если зачтены полностью F1 и F2)
0,50