Спустя время $t$ после начала движения свисающий отрезок цепи имеет длину $\cfrac{at^2}{2}$ и падает со скоростью $at$. Запишем второй закон Ньютона в импульсной форме:
$$F \cdot dt = dp \\
\cfrac{at^2}{2} \cdot \lambda \cdot g \cdot dt = d\left(\cfrac{at^2}{2} \cdot \lambda \cdot at\right) = \cfrac{a^2\lambda}{2} \cdot 3t^2 \cdot dt ,$$
и после сокращений получаем ответ:

Запишем ЗСЭ для некоторого отрезка цепи: сначала он лежит на столе, потом падает вблизи пола: $dm \cdot g \cdot h = dm \cdot \cfrac {v^2}{2}$.

Натяжение в близких полу точках удерживает лишь расположенные ниже звенья, поэтому оно стремится к нулю при приближении к полу: $T_f = 0$. Зависимость $T(h)$ можно получить, записывая равенство сил, действующих на вертикальный отрезок цепи высоты $h$: $T(h)=\lambda gh$. Натяжение цепи на одинаковой высоте слева и справа от блока одинаковое (из условия равенства моментов сил, действующих на лежащую на блоке часть цепи).

Сила $T_t$ ускоряет отрывающиеся от стола звенья цепи. Запишем закон изменения импульса: $T_t \cdot dt = (\lambda \cdot v dt) \cdot v$.

Сила $T_t$ выражена двумя способами: $T_t = \lambda v^2 = \lambda gh$, отсюда следует ответ (в $\sqrt2$ раз отличающийся от полученного через ЗСЭ):

За время $dt$ в тепло переходит кинетическая энергия звеньев, долетевших до пола за это время:
$$\cfrac{\Delta W_f}{\Delta t} = \cfrac{\cfrac{(\lambda \cdot v \cdot dt) \cdot v^2}{2}}{dt}$$

В предложенной авторами системе отсчета за время $dt$ к покоящейся цепи добавляется изначально двигавшийся вниз со скоростью $v$ отрезок цепи, его длина $v \cdot dt$. В тепло переходит его кинетическая энергия:
$$\cfrac{\Delta W_t}{\Delta t} = \cfrac{\cfrac{(\lambda \cdot v \cdot dt) \cdot v^2}{2}}{dt}.$$
Таким образом, описания потерь энергии на столе и на полу в точности совпадают.

Сила натяжения в верхней точке петли - единственная сила, сообщающая горизонтальный импульс звеньям из левой части дуги. Поэтому она рассчитывается так же, как ранее вычислена сила $T_t$:$$T_c = \lambda v^2.$$
Получаем следующую систему уравнений:
$$
\begin{cases}
T_t = \lambda v^2 = \lambda g h_1 \\
T_c = \lambda v^2 = \lambda g (h_1 + h_2)
\end{cases}
$$
Решая систему, получаем ответы, из которых следует невозможность «фонтана» в выбранной модели:

$$
\begin{cases}
T_c = \lambda v^2 = \beta \lambda v^2 + \lambda g (h_1 + h_2) \\
T_t + R = \lambda v^2 = \left( \beta \lambda v^2 + \lambda g h_1 \right) + \alpha \lambda v^2
\end{cases}
$$
Решая систему и учитывая, что $E_\text{пот} = dm \cdot g \cdot h_1$, получаем ответы:

Для выполнения ЗСЭ необходимо, чтобы $\cfrac{E_\text{кин}}{E_\text{пот}} \leq 1$, что преобразуется в условие $\alpha + \beta \leq \cfrac{1}{2}$. В рамках этого ограничения отношение высот $\cfrac{h_2}{h_1} = \cfrac{\alpha}{1-\alpha-\beta}$ будет максимальным при $\alpha = \cfrac{1}{2}$ и $\beta=0$.

Система уравнений, описывающих вращательное и поступательное движение стержня:
$$
\begin{cases}
T_t+R = m \cdot a_c \\
T_t \cdot b = \left( I + m \left(\cfrac{b}{2}\right)^2 \right) \cdot \cfrac {a_c}{b/2} \\
T_t + R = \lambda v^2
\end{cases}
$$
Избавляясь от переменных $T_t$ и $a_c$, получаем ответ:

Из пункта E1 следует выражение $\alpha = \cfrac{1}{2} - \cfrac{2I}{mb^2}$. Момент инерции «штырька» относительно описанной в условии оси равен $I_\text{шт.} = \cfrac{mb^2}{12}$. Таким образом, мы можем вычислить $\alpha_\text{шт.}$, а затем через $\beta=0$ и найденную $\alpha$ рассчитать $\left(\cfrac{h_2}{h_1}\right)_\text{шт.} = \cfrac{\alpha_\text{шт.}}{1-\alpha_\text{шт.}-\beta}$.

$I_\text{обр.} = \cfrac{mR^2}{2} = \cfrac{mb^2}{8}$

$I_3 = \cfrac{mb^2}{6}$

В проекции на касательную:
$$(T+dT) = T \pm ds \cdot \lambda \cdot g \cdot \sin \theta$$ (знак «плюс» соответствует отсчету углов по часовой стрелке, «минус» - против часовой).
В проекции на нормаль:
$$T \cdot d\theta = ds \cdot \lambda \cdot g \cdot \cos \theta.$$ Преобразуем в дифференциальные уравнения:

В проекции на касательную:
$$(T+dT) = T \pm ds \cdot \lambda \cdot g \cdot \sin \theta$$ (знак «плюс», по-прежнему, соответствует отсчету углов по часовой стрелке).
В проекции на нормаль сумма сил должна обеспечить центростремительное ускорение движущегося отрезка $ds$ цепи:
$$ds \cdot \lambda \cdot g \cdot \cos \theta + T \cdot (-d\theta) = \cfrac{v^2}{R} \cdot \lambda \cdot ds.$$
Получим выражение для радиуса траектории:
$$(-d \theta) \cdot R = ds \\
\cfrac{1}{R} = \cfrac{(-d \theta)}{ds}.$$
Объединим выписанные выражения и преобразуем их в дифференциальные уравнения:

Немного преобразуем систему уравнений из пункта F2:
$$
\begin{cases}
\cfrac{dT}{ds} = \cfrac{d \left( T - \lambda v^2 \right)}{ds} = \pm~ \lambda \cdot g \cdot \sin \theta \\
\left( T - \lambda v^2 \right) \cdot \cfrac{d \theta}{ds} = \lambda \cdot g \cdot \cos \theta
\end{cases}
$$
Видим, что решением этой системы уравнений будут такие функции $T(s)$, что функции $\left( T(s) - \lambda v^2 \right)$ удовлетворят уравнениям для цепной линии. Таким образом, искомая постоянная (не зависящая от выбора направления отсчета $\theta$):