Logo
Logo

Физика бильярдных шаров

Бильярд --- собирательное название нескольких настольных игр с различными правилами, в которых игрок использует деревянный стержень --- кий для передвижения шаров по поверхности стола. Опытный игрок в бильярд знает, насколько важны для правильной игры физические характеристики шаров и кия и как во время игры можно использовать законы физики в свою пользу. В этой задаче мы исследуем некоторые сюжеты, связанные с физикой бильярдных шаров.

Во всех пунктах мы считаем бильярдный шар однородным телом радиуса $R$ с моментом инерции $I=\frac{2}{5} mR^2$ относительно любой оси, проходящей через центр.
Часть A. Sweet spot (1.5 балла)
После удара кием о шар в общем случае шар может потерять часть своей начальной скорости, пока устанавливается движение, за счет трения при проскальзывании. Однако, хорошим игрокам в бильярд известна точка (<< sweet spot >>), при ударе в которую шар не будет терять скорости при движении.

Будем считать, что удар по шару сосредоточен в некоторой точке на высоте $h$ от стола; кий при этом ориентирован под углом $\alpha$ к поверхности стола ($-\pi/2\le\alpha\le\pi/2$, см. рис.). Считайте, что сила удара такова, что при любых $\alpha$ шар не отрывается от стола. Трением о поверхность в этом пункте можно пренебречь.
A1  1.00 Определите, при каком соотношении между $h$ и $\alpha$ после удара шар будет двигаться без проскальзывания.
A2  0.50 Нарисуйте (качественно) график зависимости $\alpha(h/R)$ с указанием точек, соответствующих $\alpha=0$ и $h=R$.
Часть B. Столкновение бильярдных шаров на столе (4.5 балла)
В этой части задачи рассматривается столкновение двух бильярдных шаров. Трением между шарами при столкновении можно пренебречь, а удар --- абсолютно упругий. Для начала также пренебрежем и трением о стол.

Пусть бильярдный шар (<< биток >>) налетает на такой же покоящийся со скоростью $\vec{v}$; относительный прицельный параметр (величина, отмеченная на рис.) равен $\frac{b}{R}<2$.
B1  1.00 Найдите скорости шаров после разлёта (модули и направления).
B2  0.50 Какой угол образуют скорости шаров после разлёта в такой модели?
Простое предсказание, полученное в предыдущем пункте и часто используемое игроками в бильярд как эмпирическое правило, значительно меняется при учёте трения о поверхность стола. Особенно заметно влияние его на движение << битка >>.
B3  1.50 Рассмотрим вспомогательную задачу: шар на горизонтальном столе в начальный момент имеет поступательную скорость $\vec{v}=\begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix}$ и угловую скорость $\vec\omega=\begin{pmatrix} \omega_x \\ \omega_y \end{pmatrix}$ (вектора $\vec v$ и $\vec\omega$ лежат в плоскости стола). Имеется трение о поверхность, которое прекращается, как только исчезает проскальзывание. Какова будет установившаяся скорость шара (модуль и направление)?
B4  0.50 Вернемся к столкновению двух шаров; пусть до удара << биток >> двигался без проскальзывания. Под какими углами к начальной скорости теперь направлены установившиеся скорости шаров?
B5  0.50 Определите угол $\varphi$ между установившимися скоростями шаров как функцию прицельного параметра $\frac{b}{R}$.
B6  0.50 Нарисуйте качественный график зависимости $\varphi(\frac{b}{R})$.
Часть C. Анализ экспериментальных данных (2 балла)
Обратимся к экспериментальным данным, чтобы проверить рассмотренные нами модели. С помощью высокоскоростной съемки была получена зависимость скорости двух сталкивающихся шаров от времени; на графике обозначено $V_c$ --- скорость << битка >> (cue ball), $V_o$ --- скорость изначально неподвижного шара (object ball).
C1  0.50 Определите коэффициент трения скольжения. Оцените погрешность полученного значения.
C2  0.50 Оцените относительные потери энергии при столкновении шаров.
C3  1.00 Определите относительный прицельный параметр $\frac{b}{R}$ для столкновения, используя данные для обоих шаров. Оцените погрешность полученного значения.
Часть D. Модуль Юнга материала бильярдного шара (2 балла)
Известно, что сила $F$, действующая между двумя телами сферической формы, прижатыми друг к другу, зависит от деформации (расстояния, на которое сближаются центры шаров) $h$ как (формула Герца)
$$F=k\,E\,R^{\frac{1}{2}}h^{\frac{3}{2}},$$
где $k$ --- численный коэффициент, $k\approx 1$, $E$ --- модуль Юнга материала, из которого сделаны шары, $R$ --- радиус шара.
D1  1.50 Рассмотрим центральный удар ($b=0$) двух одинаковых шаров массы $M$. Первый шар налетает на второй со скоростью $V$. Считая скорость налетающего шара много меньшей скорости звука в материале шара, найдите время столкновения $\tau$ и максимальную деформацию $h_m$.

Указание: считайте известным значение интеграла
$$\int\limits_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^{5/2}}}\approx 1.5.$$
D2  0.50 Оцените модуль Юнга материала шара, исходя из экспериментальных значений: $\tau=310 мкс, V=7.0 м/с, M=280 г, R=6.8 см$.