A1  ^1.00 Определите, при каком соотношении между $h$ и $\alpha$ после удара шар будет двигаться без проскальзывания.

Сообщенный шарику горизонтальный импульс равен $\cos\alpha\int F(t) dt=mv$, где $F$ — сила удара. С другой стороны, сообщённый момент импульса относительно центра масс
$$
\frac{2}{5} m R^{2} \omega=\left((h-R) \cos \alpha-\sqrt{R^{2}-(h-R)^{2}} \sin \alpha\right) \int F(t) dt
$$
В случае отсутствия проскальзывания $v=\omega R$, так что имеем соотношение
$$
\frac{2}{5}=\frac{h-R}{R}-\sqrt{1-\frac{(h-R)^{2}}{R^{2}}} \operatorname{tg} \alpha
$$

A2  ^0.50 Нарисуйте (качественно) график зависимости $\alpha(h/R)$ с указанием точек, соответствующих $\alpha=0$ и $h=R$.

B1  ^1.00 Найдите скорости шаров после разлёта (модули и направления).

Сила, действующая между шарами, направлена в их точке касания по линии, соединяющей центры в момент касания, то есть под углом $\phi=\arcsin \frac{b}{2 R}$ к направлению движения. Отсюда следует, что сообщенная второму шару скорость также направлена вдоль этой прямой. Тогда ЗСИ вместе с ЗСЭ дают для скоростей шариков:
биток: $$\vec{v}_{c}=\left(\begin{array}{c}-v \sin \phi \cos \phi \\ v \sin ^{2} \phi\end{array}\right),$$
второй шар: $$\vec{v}_{o}=\left(\begin{array}{c}v \sin \phi \cos \phi \\ v \cos ^{2} \phi\end{array}\right).$$
Т.е. $\left|\vec{v}_{c}\right|=v \sin \phi,\left|\vec{v}_{o}\right|=v \cos \phi$

B2  ^0.50 Какой угол образуют скорости шаров после разлёта в такой модели?

Скорость 2 шара направлена под углом $\phi$ к исходному направлению движения, а битка – под углом $\pi/2-\phi$. Итого угол между скоростями шаров равен $\pi/2$.

B3  ^1.50 Рассмотрим вспомогательную задачу: шар на горизонтальном столе в начальный момент имеет поступательную скорость $\vec{v}=\begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix}$ и угловую скорость $\vec\omega=\begin{pmatrix} \omega_x \\ \omega_y \end{pmatrix}$ (вектора $\vec v$ и $\vec\omega$ лежат в плоскости стола). Имеется трение о поверхность, которое прекращается, как только исчезает проскальзывание. Какова будет установившаяся скорость шара (модуль и направление)?

Момент импульса относительно точки касания в начальный момент равен
$$
\vec{L}=\vec{L}_{\text {оцм }}+\vec{L}_{\text {цм }}=\frac{2}{5} m R^{2}\left(\begin{array}{c}
\omega_{x} \\
\omega_{y}
\end{array}\right)+m R\left(\begin{array}{c}
-v_{y} \\
v_{x}
\end{array}\right)
$$
После установления движения он равен
$$
\vec{L}=\frac{7}{5} m R\left(\begin{array}{c}
-u_{y} \\
u_{x}
\end{array}\right)
$$
Внешних моментов относительно точки касания не действует и она движется параллельно центру масс, так что момент импульса относительно нее сохраняется. Итого мы находим установившуюся скорость
$$
\vec{u}=\left(\begin{array}{l}
u_{x} \\
u_{y}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
\cfrac{5}{7} v_{x}+\cfrac{2}{7} R \omega_{y} \\
\cfrac{5}{7} v_{y}-\cfrac{2}{7} R \omega_{x}
\end{array}\right)
$$

B4  ^0.50 Вернемся к столкновению двух шаров; пусть до удара « биток » двигался без проскальзывания. Под какими углами к начальной скорости теперь направлены установившиеся скорости шаров?

Известны скорости шаров сразу после удара:
биток:
$$
\vec{v}_{c}=\left(\begin{array}{c}
-v \sin \phi \cos \phi \\
v \sin ^{2} \phi
\end{array}\right), \vec{\omega}_{c}=\left(\begin{array}{c}
-v / R \\
0
\end{array}\right)
$$
второй шар:
$$
\vec{v}_{o}=\left(\begin{array}{c}
v \sin \phi \cos \phi \\
v \cos ^{2} \phi
\end{array}\right), \vec{\omega}_{o}=\overrightarrow{0}
$$
Тогда установившиеся скорости:
биток:
$$
\vec{u}_{c}=\left(\begin{array}{l}
-\cfrac{5}{7} v \sin \phi \cos \phi \\
\cfrac{5}{7} v \sin ^{2} \phi+\cfrac{2}{7} v
\end{array}\right)
$$
второй шар:
$$
\vec{u}_{o}=\frac{5}{7}\left(\begin{array}{c}
v \sin \phi \cos \phi \\
v \cos ^{2} \phi
\end{array}\right)
$$

B5  ^0.50 Определите угол $\varphi$ между установившимися скоростями шаров как функцию прицельного параметра $\frac{b}{R}$.

В терминах прицельного параметра $x=b/R$ угол разлета $\varphi$
$$
\varphi=\arcsin \left(\frac{x}{2}\right)+\operatorname{arctg} \left(\frac{\frac{x}{2} \cdot \sqrt{1-\frac{x^{2}}{4}}}{\frac{2}{5}+\frac{x^{2}}{4}}\right)
$$

B6  ^0.50 Нарисуйте качественный график зависимости $\varphi(\frac{b}{R})$.

C1  ^0.50 Определите коэффициент трения скольжения. Оцените погрешность полученного значения.

Коэффициент трения скольжения узнаем по графику зависимости скорости 2 шара от времени (для 1 шара сила трения в общем случае не коллинеарна скорости), приближая участок графика со скольжением прямой. Получаем ускорение 2 шара $a=\mu g\approx(2.1\pm0.2)~м/с^2$; $\mu\approx0.21\pm0.02$

C2  ^0.50 Оцените относительные потери энергии при столкновении шаров.

Сразу после столкновения имеем скорости шаров $v_c\approx0.90~м/с$, $v_o\approx0.42~м/с$. Разность между энергией до и после $\Delta E\approx 0.04~(м/с)^2 \cfrac{m}{2}$; начальная энергия (вращательная + поступательная) $E_0=\cfrac{7}{5}\cfrac{m}{2}~(м/с)^2$, так что потери энергии достаточно малы и составляют $\approx5\%$.

C3  ^1.00 Определите относительный прицельный параметр $\frac{b}{R}$ для столкновения, используя данные для обоих шаров. Оцените погрешность полученного значения.

Для скоростей сразу после столкновения (и после установления) имеем
$$
v_{c}=v \sin \phi, v_{o}=v \cos \phi, u_{o}=\frac{5}{7} v \cos \phi, u_{c}=\frac{5}{7} v \sqrt{\frac{4}{25}+\frac{9}{5} \sin ^{2} \phi}
$$
Используя данные из графика (в м/с)
$$
v=1.00, v_{c}=0.42, v_{o}=0.90, u_{o}=0.63, u_{c}=0.48
$$
находим соответственно 4 значения для $\sin\phi=b/2R$ и оцениваем погрешность
$$
\sin \phi=0.44 ; 0.42 ; 0.47 ; 0.40
$$
Итого $b/R=(0.86 \pm 0.08)$

D1  ^1.50 Рассмотрим центральный удар ($b=0$) двух одинаковых шаров массы $M$. Первый шар налетает на второй со скоростью $V$. Считая скорость налетающего шара много меньшей скорости звука в материале шара, найдите время столкновения $\tau$ и максимальную деформацию $h_m$.

Указание: считайте известным значение интеграла
$$\int\limits_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^{5/2}}}\approx 1.5.$$

В задаче о столкновении шаров, поскольку скорость шаров много меньше скорости звука, можно считать, что в любой момент картина деформаций установилась и сила зависит от деформации как в статическом случае.
Зависимость потенциальной энергии от деформации легко получить интегрированием силы
$$
U=\frac{2}{5} E R^{\frac{1}{2}} h^{\frac{5}{2}}
$$
В системе центра масс ЗСЭ имеет вид ($\mu=M/2$ — приведённая масса)
$$
\frac{M v^{2}}{2}+\frac{2}{5} E R^{\frac{1}{2}} h^{\frac{5}{2}}=\frac{M V^{2}}{2}
$$
Где $v$ — относительная скорость шаров, она же $\dot h$. Максимальная деформация
$$
h_{m}=\left(\frac{5 \mu V^{2}}{4 E R^{\frac{1}{2}}}\right)^{\frac{2}{5}}
$$
Время деформации, т.е. время, в течение которого h меняется от 0 до h_m и обратно, можно найти как
$$
\tau=2 \int_{0}^{h_{m}} \frac{d h}{v}=\left(x=\frac{h}{h_{m}}\right)=\frac{2}{h_{m}^{\frac{1}{4}}}\left(\frac{5 \mu}{4 E R^{\frac{1}{2}}}\right)^{\frac{1}{2}} \int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{1-x^{\frac{5}{2}}}} \approx 3 V^{-\frac{1}{5}}\left(\frac{5 M}{8 E R^{\frac{1}{2}}}\right)^{\frac{2}{5}}
$$

D2  ^0.50 Оцените модуль Юнга материала шара, исходя из экспериментальных значений: $\tau=310~мкс, V=7.0~м/с, M=280~г, R=6.8~см$.