Pho.rs: Оптический волновод

1 ^?? Выразите волновое число $k$ через длину волны $\lambda$, а период колебаний $T$ через угловую частоту $\omega$.

__

$\left(\omega t_{0}-k(x+\lambda)+\varphi\right)-\left(\omega t_{0}-k x+\varphi\right)=2 \pi$	0.20
$k=\cfrac{2\pi}{\lambda}$	0.20
$\left(\omega(t+T)-k x_{0}+\varphi\right)-\left(\omega t-k x_{0}+\varphi\right)=2 \pi$	0.20
$\omega=\cfrac{2\pi}{T}$	0.20

2 ^?? Выразите скорость распространения волны $c$ через величины $k$ и $\omega$.

__

$\omega t-kx+\varphi=\mathrm {const}$	0.20
$v=\cfrac{\omega}{k}$	0.20

3 ^?? Нарисуйте схематически семейство эквидистантных волновых поверхностей, то есть поверхностей равной фазы колебаний, для плоской волны, описываемой функцией (2).

__

Плоскости, перпендикулярные волновому вектору.

0.20

4 ^?? Запишите явное выражение для напряженности электрического поля волны (2), как функцию координат $\vec E(t, x, y)$.

__

$E=E_{0}^{\prime} \cos (\omega t-k x \cos \theta-k y \sin \theta+\varphi)$

0.20

5 ^?? Покажите, что сумма двух этих монохроматических волн представляет собой модулированную волну, состоящую из отдельных волновых пакетов. Запишите формулу, описывающую медлен-ное изменение амплитуды волны $A_0(x, t)$ в пространстве и времени (ее огибающую).

__

$E=2 E_{0} \cos \left(\left(\omega_{0}+\frac{\Delta \omega}{2}\right) t-\left(k_{0}+\frac{\Delta k}{2}\right) x\right) \cos \left(\frac{\Delta \omega}{2} t-\frac{\Delta k}{2} x\right)$	0.20
$A_{0}(x, t)=2 E_{0} \cos \left(\cfrac{\Delta \omega}{2} t-\cfrac{\Delta k}{2} x\right)$	0.20

6 ^?? Определите длительность $\tau$ отдельного волнового пакета. Запишите соотношение между длительностью $\tau$ и разностью частот $\Delta\nu=\Delta\omega/2\pi$.

__

$\tau=\cfrac{2\pi}{\Delta\omega}$	0.20
$\tau\Delta\nu=1$	0.20

7 ^?? Определите пространственную длину волнового пакета $L$.

__

$L=\cfrac{2\pi}{\Delta k}$

0.20

8 ^?? Найдите фазовую скорость $v_p$ рассматриваемой модулированной волны и выразите ее через $\omega, k, \Delta\omega, \Delta k$.

__

$\omega_0 t-k_0 x=\mathrm{const}$	0.20
$v_p=\cfrac{\omega_0}{k_0}$	0.20

9 ^?? Найдите групповую скорость $v_g$ рассматриваемой модулированной волны и выразите ее через $\omega, k, \Delta\omega, \Delta k$.

__

$\cfrac{\Delta\omega}{2}t-\cfrac{\Delta k}{2}x=0$	0.20
$v_g=\cfrac{\Delta\omega}{\Delta k}$	0.20

10 ^?? Установите связь между фазовой $v_p$ и групповой $v_g$ скоростями для электромагнитных волн в вакууме.

__

$\omega=kc$	0.20
$v_p=c$	0.20
$v_g=v_p=c$	0.20

11 ^?? Найдите значения $k_y$, при которых волна может распространяться в волноводе без потерь энергии.

__

$k_y=m\cfrac{\pi}{a}$

0.20

12 ^?? Покажите, что волна, описываемая функцией (3), может быть представлена в виде суперпозиции двух плоских волн $E_1(t,x,y)$ и $E_2(t,x,y)$ с волновыми числами $k_0$, распространяющихся симметрично под углами $\pm\theta$ к пластинам (смотрите рисунок выше).

__

$E_{1}=E_{0}^{\prime} \cos \left(\omega t-k_{0} x \cos \theta+k_{0} y \sin \theta+\varphi\right)$	0.30
$E_{2}=E_{0}^{\prime} \cos \left(\omega t-k_{0} x \cos \theta-k_{0} y \sin \theta-\varphi\right)$	0.30
$E_0'=E_0/2$	0.20
Условие $\varphi=-\pi/2$	0.20

13 ^?? Выразите значения величин $k_x, k_y$ через волновое число волны $k_0$ и угол $\theta$.

__

$k_x=k_0\cos\theta$	0.20
$k_y=k_0\sin\theta$	0.20

14 ^?? Определите возможные углы $\theta_m$, при которых волна может распространяться в волноводе без потерь энергии. Выразите значения этих углов через расстояние между пластинами $a$ и длину волны $\lambda$ в вакууме.

__

$\sin\theta_m=m\cfrac{\pi}{ak_0}$	0.30
$\sin\theta_m=m\cfrac{\lambda}{2a}$	0.30

15 ^?? Определите фазовые скорости $v_p$ волн каждой моды. Выразите эти скорости через частоту волны $\omega$ и скорость света в вакууме $c$.

__

$v_p=\cfrac{\omega}{k_0\cos\theta}$	0.30
$v_{p}=\cfrac{c}{\sqrt{1-\left(m \cfrac{\pi c}{\omega a}\right)^{2}}}$	0.30

16 ^?? Определите скорость распространения этого импульса в моде номер $m$.

__

$v_{g}=\cfrac{\Delta \omega}{\Delta k}=\cfrac{d \omega}{d k}=\left(\cfrac{d k}{d \omega}\right)^{-1}$	0.30
$k=\frac{\omega}{v_{p}}=\cfrac{\omega}{c} \sqrt{1-\left(m \cfrac{\pi c}{\omega a}\right)^{2}}=\cfrac{1}{c} \sqrt{\omega^{2}-\left(m \cfrac{\pi c}{a}\right)^{2}}$	0.40
$v_{g}=c \sqrt{1-\left(m \cfrac{\pi c}{a \omega}\right)^{2}}$	0.30

17 ^?? На каком минимальном расстоянии $X$ от входа в волновод число импульсов удвоится, если $a/\lambda=1.2$. Ответ выразите через скорость света $c$и длительность импульса $\tau$.

__

$\sin\theta_m\approx 0.42m$	0.20
Присутствуют моды с $m=1$ и $m=2$	0.40
$v=c \sqrt{1-\left(m \cfrac{\lambda}{2 a}\right)^{2}}$	0.40
$\cfrac{X}{v_1}-\cfrac{X}{v_2}=\tau$	0.40
$X=1.4c\tau$	0.40

18 ^?? Найдите отношения $a/\lambda$, при которых в волноводе может распространяться только одна мода.

__

$\sin\theta_2=2\cfrac{\lambda}{2a} > 1$	0.30
$\cfrac{a}{\lambda} < 1$	0.30

Оптический волновод

Разбалловка