Logo
Logo

Оптический волновод

1  ?? Выразите волновое число $k$ через длину волны $\lambda$, а период колебаний $T$ через угловую частоту $\omega$.

__
$\left(\omega t_{0}-k(x+\lambda)+\varphi\right)-\left(\omega t_{0}-k x+\varphi\right)=2 \pi$ 0.20
$k=\cfrac{2\pi}{\lambda}$ 0.20
$\left(\omega(t+T)-k x_{0}+\varphi\right)-\left(\omega t-k x_{0}+\varphi\right)=2 \pi$ 0.20
$\omega=\cfrac{2\pi}{T}$ 0.20
2  ?? Выразите скорость распространения волны $c$ через величины $k$ и $\omega$.

__
$\omega t-kx+\varphi=\mathrm {const}$ 0.20
$v=\cfrac{\omega}{k}$ 0.20
3  ?? Нарисуйте схематически семейство эквидистантных волновых поверхностей, то есть поверхностей равной фазы колебаний, для плоской волны, описываемой функцией (2).

__
Плоскости, перпендикулярные волновому вектору. 0.20
4  ?? Запишите явное выражение для напряженности электрического поля волны (2), как функцию координат $\vec E(t, x, y)$.

__
$E=E_{0}^{\prime} \cos (\omega t-k x \cos \theta-k y \sin \theta+\varphi)$ 0.20
5  ?? Покажите, что сумма двух этих монохроматических волн представляет собой модулированную волну, состоящую из отдельных волновых пакетов. Запишите формулу, описывающую медлен-ное изменение амплитуды волны $A_0(x, t)$ в пространстве и времени (ее огибающую).

__
$E=2 E_{0} \cos \left(\left(\omega_{0}+\frac{\Delta \omega}{2}\right) t-\left(k_{0}+\frac{\Delta k}{2}\right) x\right) \cos \left(\frac{\Delta \omega}{2} t-\frac{\Delta k}{2} x\right)$ 0.20
$A_{0}(x, t)=2 E_{0} \cos \left(\cfrac{\Delta \omega}{2} t-\cfrac{\Delta k}{2} x\right)$ 0.20
6  ?? Определите длительность $\tau$ отдельного волнового пакета. Запишите соотношение между длительностью $\tau$ и разностью частот $\Delta\nu=\Delta\omega/2\pi$.

__
$\tau=\cfrac{2\pi}{\Delta\omega}$ 0.20
$\tau\Delta\nu=1$ 0.20
7  ?? Определите пространственную длину волнового пакета $L$.

__
$L=\cfrac{2\pi}{\Delta k}$ 0.20
8  ?? Найдите фазовую скорость $v_p$ рассматриваемой модулированной волны и выразите ее через $\omega, k, \Delta\omega, \Delta k$.

__
$\omega_0 t-k_0 x=\mathrm{const}$ 0.20
$v_p=\cfrac{\omega_0}{k_0}$ 0.20
9  ?? Найдите групповую скорость $v_g$ рассматриваемой модулированной волны и выразите ее через $\omega, k, \Delta\omega, \Delta k$.

__
$\cfrac{\Delta\omega}{2}t-\cfrac{\Delta k}{2}x=0$ 0.20
$v_g=\cfrac{\Delta\omega}{\Delta k}$ 0.20
10  ?? Установите связь между фазовой $v_p$ и групповой $v_g$ скоростями для электромагнитных волн в вакууме.

__
$\omega=kc$ 0.20
$v_p=c$ 0.20
$v_g=v_p=c$ 0.20
11  ?? Найдите значения $k_y$, при которых волна может распространяться в волноводе без потерь энергии.

__
$k_y=m\cfrac{\pi}{a}$ 0.20
12  ?? Покажите, что волна, описываемая функцией (3), может быть представлена в виде суперпозиции двух плоских волн $E_1(t,x,y)$ и $E_2(t,x,y)$ с волновыми числами $k_0$, распространяющихся симметрично под углами $\pm\theta$ к пластинам (смотрите рисунок выше).

__
$E_{1}=E_{0}^{\prime} \cos \left(\omega t-k_{0} x \cos \theta+k_{0} y \sin \theta+\varphi\right)$ 0.30
$E_{2}=E_{0}^{\prime} \cos \left(\omega t-k_{0} x \cos \theta-k_{0} y \sin \theta-\varphi\right)$ 0.30
$E_0'=E_0/2$ 0.20
Условие $\varphi=-\pi/2$ 0.20
13  ?? Выразите значения величин $k_x, k_y$ через волновое число волны $k_0$ и угол $\theta$.

__
$k_x=k_0\cos\theta$ 0.20
$k_y=k_0\sin\theta$ 0.20
14  ?? Определите возможные углы $\theta_m$, при которых волна может распространяться в волноводе без потерь энергии. Выразите значения этих углов через расстояние между пластинами $a$ и длину волны $\lambda$ в вакууме.

__
$\sin\theta_m=m\cfrac{\pi}{ak_0}$ 0.30
$\sin\theta_m=m\cfrac{\lambda}{2a}$ 0.30
15  ?? Определите фазовые скорости $v_p$ волн каждой моды. Выразите эти скорости через частоту волны $\omega$ и скорость света в вакууме $c$.

__
$v_p=\cfrac{\omega}{k_0\cos\theta}$ 0.30
$v_{p}=\cfrac{c}{\sqrt{1-\left(m \cfrac{\pi c}{\omega a}\right)^{2}}}$ 0.30
16  ?? Определите скорость распространения этого импульса в моде номер $m$.

__
$v_{g}=\cfrac{\Delta \omega}{\Delta k}=\cfrac{d \omega}{d k}=\left(\cfrac{d k}{d \omega}\right)^{-1}$ 0.30
$k=\frac{\omega}{v_{p}}=\cfrac{\omega}{c} \sqrt{1-\left(m \cfrac{\pi c}{\omega a}\right)^{2}}=\cfrac{1}{c} \sqrt{\omega^{2}-\left(m \cfrac{\pi c}{a}\right)^{2}}$ 0.40
$v_{g}=c \sqrt{1-\left(m \cfrac{\pi c}{a \omega}\right)^{2}}$ 0.30
17  ?? На каком минимальном расстоянии $X$ от входа в волновод число импульсов удвоится, если $a/\lambda=1.2$. Ответ выразите через скорость света $c$и длительность импульса $\tau$.

__
$\sin\theta_m\approx 0.42m$ 0.20
Присутствуют моды с $m=1$ и $m=2$ 0.40
$v=c \sqrt{1-\left(m \cfrac{\lambda}{2 a}\right)^{2}}$ 0.40
$\cfrac{X}{v_1}-\cfrac{X}{v_2}=\tau$ 0.40
$X=1.4c\tau$ 0.40
18  ?? Найдите отношения $a/\lambda$, при которых в волноводе может распространяться только одна мода.

__
$\sin\theta_2=2\cfrac{\lambda}{2a} > 1$ 0.30
$\cfrac{a}{\lambda} < 1$ 0.30