Logo
Logo

Математический маятник

В своей основе физика является наукой экспериментальной и в этом ее сила. Однако без осмысления большого количества опытных фактов физика выродилась бы в описание огромного количества явлений и процессов. Так появились физические законы и соответствующие им модели, которые абстрагируются от несущественных черт рассматриваемого предмета. В последние десятилетия отмечается бурный прогресс в такой области как компьютерное моделирование или, как стало общепринято говорить, компьютерный эксперимент. Дело в том, что разработанные физические модели можно напрямую реализовать в виде вычислительного процесса на компьютере и исследовать интересуемые закономерности. В данной работе мы с вами выполним такой компьютерный эксперимент для хорошо известной системы как математический маятник.

Хорошо известна формула для периода колебаний математического маятника длины $l$, находящегося в однородном поле тяжести Земли, характеризуемом ускорением свободного падения $g$. Однако, эта формула применима только при малых углах отклонения. Основной вопрос, на который вам предстоит ответить при выполнении этой работы: <<Какой угол отклонения можно считать малым?>>

В учебной литературе, посвященной лабораторным практикумам, можно встретить указание о том, что максимальный угол отклонения не должен превышать $1^\circ, 2^\circ, 5^\circ$ и т. д. На поставленный выше вопрос вы должны ответить на основании компьютерного эксперимента! А именно, вам предлагается изучить зависимость периода колебаний математического маятника от его амплитуды, в качестве которой принимается максимальный угол отклонения от вертикали.

Схема проведения и обработки результатов компьютерного эксперимента мало отличаются от проведения обычного, натурного эксперимента. Поэтому части данной задачи напрямую соответствуют основным этапам реального физического эксперимента.
Часть 1. Построение теоретической модели
Рассмотрим математический маятник, представляющий собой небольшой массивный шарик, подвешенный на нерастяжимой нити длиной $l$. Маятник находится в поле тяжести с ускорением свободного падения $g$. Сопротивлением воздуха будем пренебрегать.
1.1  ?? Запишите формулу для периода $T$ малых колебаний математического маятника.
Пусть в начальный момент времени $t_{0} =0$ угол отклонения нити от вертикали составляет $\varphi _{0} $, а начальная скорость шарика равна нулю. Шарик движется по дуге окружности, поэтому его положение будем определять углом отклонения нити от вертикали $\varphi $, а скорость изменения этого угла определяется угловой скоростью $\omega =\cfrac{d\varphi }{dt} $.
1.2  ?? Получите точную формулу для зависимости угловой скорости движения маятника от угла отклонения $\omega \left(\varphi \right)$ при заданной амплитуде колебаний $\varphi _{0} $ и известных значениях $l, g$.
Так как движение маятника является симметричным относительно вертикали, то для расчета периода колебаний достаточно рассчитать время $t_{1} $ его движения от максимального отклонения $\varphi _{0} $ до нуля.
1.3  ?? Запишите точное выражение для расчета времени $t_{1} $ по известной зависимости угловой скорости от угла отклонения $\omega \left(\varphi \right)$.
1.4  ?? Выразите период колебаний $T$ через время $t_{1} $.
В компьютерном эксперименте при выполнении расчетов никогда не используются реальные размерные величины, так как они могут иметь самые разные порядки и являются крайне неудобными. Обычно применяют так называемую процедуру обезразмеривания величин на некоторые характерные для данной задачи значения. Например, в нашей задаче характерным временем является период колебаний, поэтому удобно ввести безразмерное время $\tau$, которое определяется по формуле:
$$\tau =t\sqrt{\frac{g}{l} }$$
1.5  ?? Запишите формулу, связывающую угловую скорость в безразмерных единицах $\widetilde{\omega }=\cfrac{d\varphi }{d\tau } $ с ранее введенной угловой скоростью $\omega $.
1.6  ?? Определите период малых колебаний $\widetilde{T}$ математического маятника в безразмерных единицах времени.
1.7  ?? Определите зависимость угловой скорости $\widetilde{\omega }$ от угла отклонения $\varphi $: $\widetilde{\omega }\left(\varphi \right)$.
Далее везде используются введенные безразмерные величины: время $\tau $, период $\widetilde{T}$ и угловую скорость $\widetilde{\omega }$, которые будем обозначать $t$, $T$ и $\omega $.
Часть 2. Конструирование экспериментальной установки, планирование эксперимента
В компьютерном эксперименте этому этапу соответствует разработка алгоритма проведения расчетов. В данном случае основная идея численных (компьютерных) расчетов заключается в разбиении траектории движения на малые участки, на каждом из которых движение описывается приближенно.

Разобьем интервал движения от $\varphi =\varphi _{0} $ до $\varphi =0$ на $N$ одинаковых интервалов шириной $\Delta \varphi $. Обозначим точки разбиения как $\varphi _{k} $, $k=0, 1,\dots N$, а угловые скорости в этих точках как $\omega _{k} $. Основное приближение, используемое в дальнейших расчетах, состоит в том, что на каждом интервале от $\varphi _{k} $ до $\varphi _{k+1} $ движение маятника считается равноускоренным. Естественно ожидать, что с увеличением числа интервалов разбиения $N$ точность расчетов будет возрастать.

В рамках сделанного приближения не сложно найти время движения маятника на интервале от $\varphi _{0} $ до 0. Алгоритм расчетов при заданных вами значениях амплитуды $\varphi _{0} $ и числа интервалов разбиения $N$ раскрывается в последовательности ответов на следующие вопросы.
2.1  ?? Определите интервал разбиения $\Delta \varphi $.
2.2  ?? Определите координаты точек разбиения $\varphi _{k} $.
2.3  ?? Выразите угловую скорость $\omega _{k} $ в точке $\varphi _{k} $ при произвольном начальном угле отклонения $\varphi _{0} $. Запишите эту формулу для частного случая $\varphi _{0} =\cfrac{\pi }{2} $.
2.4  ?? Определите время $\Delta t_{k} $ прохождения $k$-того интервала от $\varphi _{k-1} $ до $\varphi _{k} $.
2.5  ?? Найдите выражение для времени $t_{k} $ прохождения шарика до угла $\varphi _{k} $. Для упрощения расчетов выразите его через время $t_{k-1} $ прохождения до предыдущего значения угла $\varphi _{k-1} $.
2.6  ?? Приведите формулу для периода колебаний $T_{N} $ при заданном разбиении на $N$ интервалов.
Часть 3. Пробный эксперимент, оценка погрешностей
На этом этапе необходимо убедиться в работоспособности установки, что в данном случае означает возможность проведения расчетов по разработанному выше алгоритму, а также оценить, достигается ли необходимая точность результатов.

Как было отмечено ранее, погрешности расчетов зависят от числа интервалов разбиения $N$. В данном задании вам предстоит проводить расчеты не на компьютере, а «вручную», с помощью калькулятора. Увеличение $N$ уменьшает погрешность расчетов, но увеличивает время их проведения. Поэтому важно выбрать оптимальное значение этой величины -- минимальное значение, при котором достигается требуемая точность. На данном этапе все расчеты проводите для $\varphi _{0} =\cfrac{\pi }{2} $.

ВНИМАНИЕ! Здесь и далее расчеты следует проводить с точностью до 4 десятичных знаков. Для экономии времени тщательно продумывайте всю последовательность расчетов: используйте ранее рассчитанные величины, вводите необходимые константы, присутствующие в формулах (чтобы не пересчитывать их несколько раз), записывайте результаты промежуточных расчетов в наиболее удобном виде.
3.1  ?? Проведите расчеты времен $t_{k} $ прохождения точек с координатами $\varphi _{k} $ для $N=1, 2, 4, 8, 16, 32$. Найдите приближенные значения периодов колебаний $T_{N} $, рассчитанные по $N$ точкам. Результаты представьте в Таблице 1.
3.2  ?? Постройте График 1 закона движения маятника $\varphi (t)$ за четверть периода по результатам расчетов при $N=16$.
3.3  ?? На том же Графике 1 постройте закон движения $\varphi (t)$, считая, что колебания являются малыми. Результаты расчетов закона движения приведите в Таблице 2.
В качестве оценки относительной погрешности расчета периода колебаний при разбиении на $N$ интервалов используем величину
$$\varepsilon _{N} =\cfrac{T_{N} -T_{32} }{T_{32} } ,$$
где $T_{32} $ -- значение периода, рассчитанное для $N=32$, что наиболее близко к истинному значению.

Зависимость относительной погрешности расчета $\varepsilon _{N} $ от числа разбиений $N$ описывается приближенной формулой
$$\varepsilon _{N} =\frac{C}{N^{\gamma } } ,$$
где $C$ и $\gamma $ --- некоторые постоянные величины.
3.4  ?? Рассчитайте относительные погрешности определения периодов $\varepsilon _{N} $. Результаты представьте в Таблице 3.
3.5  ?? Докажите на Графике 2 применимость приведенной выше формулы для относительной погрешности и найдите значения параметров $C$ и $\gamma $.
3.6  ?? Определите минимальное значение $N_{\min } $, при котором относительная погрешность расчета периода не превышает 0.2\%.
В дальнейших расчетах используйте найденное значение числа интервалов разбиения $N_{\min } $.
Часть 4. Эксперимент: зависимость периода от амплитуды
На этом этапе компьютерного эксперимента определим зависимость периода колебаний математического маятника от амплитуды $T\left(\varphi _{0} \right)$, которая описывается функцией
$$T\left(\varphi _{0} \right)=T_{0} \left(a+\cfrac{\varphi _{0}^{2} }{b} \right),$$
где $T_{0} $ -- период малых колебаний маятника, $a, b$ --- постоянные величины.
4.1  ?? Рассчитайте периоды колебаний математического маятника для следующего набора амплитуд $\varphi _{0} $: $15^\circ ,30^\circ ,45^\circ ,60^\circ ,75^\circ $ и $90^\circ $, который вы уже определили.
4.2  ?? Докажите на Графике 3 применимость приведенной выше формулы для зависимости периода колебаний маятника от его амплитуды.
4.3  ?? Определите значения параметров $a,b$.
Пусть погрешность измерения периода колебаний маятника в реальном эксперименте составляет примерно $5\%$.
4.4  ?? Обоснуйте, при каких углах $\varphi _{0} $, выраженных в градусах, колебания математического маятника можно считать малыми.