В своей основе физика является наукой экспериментальной и в этом ее сила. Однако без осмысления большого количества опытных фактов физика выродилась бы в описание огромного количества явлений и процессов. Так появились физические законы и соответствующие им модели, которые абстрагируются от несущественных черт рассматриваемого предмета. В последние десятилетия отмечается бурный прогресс в такой области как компьютерное моделирование или, как стало общепринято говорить, компьютерный эксперимент. Дело в том, что разработанные физические модели можно напрямую реализовать в виде вычислительного процесса на компьютере и исследовать интересуемые закономерности. В данной работе мы с вами выполним такой компьютерный эксперимент для хорошо известной системы как математический маятник.
Хорошо известна формула для периода колебаний математического маятника длины $l$, находящегося в однородном поле тяжести Земли, характеризуемом ускорением свободного падения $g$. Однако, эта формула применима только при малых углах отклонения. Основной вопрос, на который вам предстоит ответить при выполнении этой работы: «Какой угол отклонения можно считать малым?»
В учебной литературе, посвященной лабораторным практикумам, можно встретить указание о том, что максимальный угол отклонения не должен превышать $1^\circ, 2^\circ, 5^\circ$ и т. д. На поставленный выше вопрос вы должны ответить на основании компьютерного эксперимента! А именно, вам предлагается изучить зависимость периода колебаний математического маятника от его амплитуды, в качестве которой принимается максимальный угол отклонения от вертикали.
Схема проведения и обработки результатов компьютерного эксперимента мало отличаются от проведения обычного, натурного эксперимента. Поэтому части данной задачи напрямую соответствуют основным этапам реального физического эксперимента.
Пусть в начальный момент времени $t_{0} =0$ угол отклонения нити от вертикали составляет $\varphi _{0} $, а начальная скорость шарика равна нулю. Шарик движется по дуге окружности, поэтому его положение будем определять углом отклонения нити от вертикали $\varphi $, а скорость изменения этого угла определяется угловой скоростью $\omega =\cfrac{d\varphi }{dt} $.
Так как движение маятника является симметричным относительно вертикали, то для расчета периода колебаний достаточно рассчитать время $t_{1} $ его движения от максимального отклонения $\varphi _{0} $ до нуля.
В компьютерном эксперименте при выполнении расчетов никогда не используются реальные размерные величины, так как они могут иметь самые разные порядки и являются крайне неудобными. Обычно применяют так называемую процедуру обезразмеривания величин на некоторые характерные для данной задачи значения. Например, в нашей задаче характерным временем является период колебаний, поэтому удобно ввести безразмерное время $\tau$, которое определяется по формуле:
$$\tau =t\sqrt{\frac{g}{l} }$$
Далее везде используются введенные безразмерные величины: время $\tau $, период $\widetilde{T}$ и угловую скорость $\widetilde{\omega }$, которые будем обозначать $t$, $T$ и $\omega $.
На этом этапе необходимо убедиться в работоспособности установки, что в данном случае означает возможность проведения расчетов по разработанному выше алгоритму, а также оценить, достигается ли необходимая точность результатов.
Как было отмечено ранее, погрешности расчетов зависят от числа интервалов разбиения $N$. В данном задании вам предстоит проводить расчеты не на компьютере, а «вручную», с помощью калькулятора. Увеличение $N$ уменьшает погрешность расчетов, но увеличивает время их проведения. Поэтому важно выбрать оптимальное значение этой величины — минимальное значение, при котором достигается требуемая точность. На данном этапе все расчеты проводите для $\varphi _{0} =\cfrac{\pi }{2} $.
ВНИМАНИЕ! Здесь и далее расчеты следует проводить с точностью до 4 десятичных знаков. Для экономии времени тщательно продумывайте всю последовательность расчетов: используйте ранее рассчитанные величины, вводите необходимые константы, присутствующие в формулах (чтобы не пересчитывать их несколько раз), записывайте результаты промежуточных расчетов в наиболее удобном виде.
В качестве оценки относительной погрешности расчета периода колебаний при разбиении на $N$ интервалов используем величину
$$\varepsilon _{N} =\cfrac{T_{N} -T_{32} }{T_{32} } ,$$
где $T_{32} $ — значение периода, рассчитанное для $N=32$, что наиболее близко к истинному значению.
Зависимость относительной погрешности расчета $\varepsilon _{N} $ от числа разбиений $N$ описывается приближенной формулой
$$\varepsilon _{N} =\frac{C}{N^{\gamma } } ,$$
где $C$ и $\gamma $ — некоторые постоянные величины.
В дальнейших расчетах используйте найденное значение числа интервалов разбиения $N_{\min } $.
На этом этапе компьютерного эксперимента определим зависимость периода колебаний математического маятника от амплитуды $T\left(\varphi _{0} \right)$, которая описывается функцией
$$T\left(\varphi _{0} \right)=T_{0} \left(a+\cfrac{\varphi _{0}^{2} }{b} \right),$$
где $T_{0} $ — период малых колебаний маятника, $a, b$ — постоянные величины.
Пусть погрешность измерения периода колебаний маятника в реальном эксперименте составляет примерно $5%$.