Pho.rs: Математический маятник

1.1 ^?? Запишите формулу для периода $T$ малых колебаний математического маятника.

1.1. 1 $T=2\pi\sqrt{\cfrac{l}{g}}$

0.10

1.2 ^?? Получите точную формулу для зависимости угловой скорости движения маятника от угла отклонения $\omega \left(\varphi \right)$ при заданной амплитуде колебаний $\varphi _{0} $ и известных значениях $l, g$.

1.2. 1 ЗСЭ	0.10
1.2. 2 $\omega=\sqrt{\cfrac{2g}{l}\left(\cos \varphi-\cos \varphi_{0}\right)}$	0.30

1.3 ^?? Запишите точное выражение для расчета времени $t_{1} $ по известной зависимости угловой скорости от угла отклонения $\omega \left(\varphi \right)$.

1.3. 1 $dt=\cfrac{d\varphi}{\omega}$	0.10
1.3. 2 $t_{1}=\int_{0}^{\varphi_{0}} \cfrac{d \varphi}{\sqrt{\cfrac{2g}{l}\left(\cos \varphi-\cos \varphi_{0}\right)}}$	0.20

1.4 ^?? Выразите период колебаний $T$ через время $t_{1} $.

1.4. 1 $T=4t_1$

0.10

1.5 ^?? Запишите формулу, связывающую угловую скорость в безразмерных единицах $\widetilde{\omega }=\cfrac{d\varphi }{d\tau } $ с ранее введенной угловой скоростью $\omega $.

1.5. 1 $\widetilde\omega=\sqrt{\cfrac{l}{g}}\omega$

0.20

1.6 ^?? Определите период малых колебаний $\widetilde{T}$ математического маятника в безразмерных единицах времени.

1.6. 1 $\widetilde T=2\pi$

0.20

1.7 ^?? Определите зависимость угловой скорости $\widetilde{\omega }$ от угла отклонения $\varphi $: $\widetilde{\omega }\left(\varphi \right)$.

1.7. 1 $\widetilde{\omega}(\varphi)=\sqrt{2(\cos \varphi-\cos \varphi_{0})}$

0.20

2.1 ^?? Определите интервал разбиения $\Delta \varphi $.

2.1. 1 $\Delta\varphi=\cfrac{\varphi_0}{N}$

0.10

2.2 ^?? Определите координаты точек разбиения $\varphi _{k} $.

2.2. 1 $\varphi_k=\varphi_{k-1}-\Delta\varphi$

0.10

2.3 ^?? Выразите угловую скорость $\omega _{k} $ в точке $\varphi _{k} $ при произвольном начальном угле отклонения $\varphi _{0} $. Запишите эту формулу для частного случая $\varphi _{0} =\cfrac{\pi }{2} $.

2.3. 1 $\omega_k=\sqrt{2(\cos \varphi_k-\cos \varphi_{0})}$

0.10

2.4 ^?? Определите время $\Delta t_{k} $ прохождения $k$-того интервала от $\varphi _{k-1} $ до $\varphi _{k} $.

2.4. 1 Основная идея: $\langle\omega\rangle=\cfrac{1}{2}(\omega_{k-1}+\omega_k)$	0.50
2.4. 2 $\Delta t=\cfrac{2\Delta\varphi}{\omega_{k-1}+\omega_k}$	0.50

2.5 ^?? Найдите выражение для времени $t_{k} $ прохождения шарика до угла $\varphi _{k} $. Для упрощения расчетов выразите его через время $t_{k-1} $ прохождения до предыдущего значения угла $\varphi _{k-1} $.

2.5. 1 $t_k=t_{k-1}+\Delta t_k$

0.10

2.6 ^?? Приведите формулу для периода колебаний $T_{N} $ при заданном разбиении на $N$ интервалов.

2.6. 1 $T_N=4t_N$

0.10

3.1 ^?? Проведите расчеты времен $t_{k} $ прохождения точек с координатами $\varphi _{k} $ для $N=1, 2, 4, 8, 16, 32$. Найдите приближенные значения периодов колебаний $T_{N} $, рассчитанные по $N$ точкам. Результаты представьте в Таблице 1.

3.1. 1 Рассчитан период для $N=32$	1.20
3.1. 2 Рассчитан период для $N=16$	1.00
3.1. 3 Рассчитан период для $N=8$	0.80
3.1. 4 Рассчитан период для $N=4$	0.60
3.1. 5 Рассчитан период для $N=2$	0.40
3.1. 6 Рассчитан период для $N=1$	0.20

3.2 ^?? Постройте График 1 закона движения маятника $\varphi (t)$ за четверть периода по результатам расчетов при $N=16$.

3.2. 1 График: Нанесены точки в соответствии с таблицей	0.30
3.2. 2 График: Проведена сглаживающая кривая	0.20

3.3 ^?? На том же Графике 1 постройте закон движения $\varphi (t)$, считая, что колебания являются малыми. Результаты расчетов закона движения приведите в Таблице 2.

3.3. 1 График: Проведен расчет закона движения, таблица 2	0.50
3.3. 2 График: Нанесены точки в соответствии с таблицей	0.30
3.3. 3 График: Проведена сглаживающая кривая	0.20

3.4 ^?? Рассчитайте относительные погрешности определения периодов $\varepsilon _{N} $. Результаты представьте в Таблице 3.

3.4. 1 Проведены расчеты погрешностей (правильно), таблица 3

0.50

3.5 ^?? Докажите на Графике 2 применимость приведенной выше формулы для относительной погрешности и найдите значения параметров $C$ и $\gamma $.

3.5. 1 График: Использован двойной логарифмический масштаб	0.50
3.5. 2 График: Построен линеаризованный график	0.50
3.5. 3 График: Получена линейная зависимость	0.30
3.5. 4 Найден показатель степени $\gamma\in[2.2; 2.4]$	0.50
3.5. 5 Найден коэффициент $C\in[0.09; 0.29]$	0.50

3.6 ^?? Определите минимальное значение $N_{\min } $, при котором относительная погрешность расчета периода не превышает 0.2\%.

3.6. 1 Определено $N=8\pm1$

0.50

4.1 ^?? Рассчитайте периоды колебаний математического маятника для следующего набора амплитуд $\varphi _{0} $: $15^\circ ,30^\circ ,45^\circ ,60^\circ ,75^\circ $ и $90^\circ $, который вы уже определили.

4.1. 1 Значения периодов отличаются от табличных не более, чем на 0,02. Баллы за каждый рассчитанный период	5 × 0.80
4.1. 2 Добавлен период из части 3	0.20

4.2 ^?? Докажите на Графике 3 применимость приведенной выше формулы для зависимости периода колебаний маятника от его амплитуды.

4.2. 1 Предложена линеаризация $T(\varphi_0^2)$	0.50
4.2. 2 Построен график	0.50
4.2. 3 Получена линейная зависимость	0.50

4.3 ^?? Определите значения параметров $a,b$.

4.3. 1 Параметр $a = 1$. Засчитывается только такой	0.30
4.3. 2 Параметр $b\in[13; 16]$	1.00

4.4 ^?? Обоснуйте, при каких углах $\varphi _{0} $, выраженных в градусах, колебания математического маятника можно считать малыми.

4.4. 1 «малый» угол $\varphi < 45^\circ$

1.00

Математический маятник

Разбалловка