Logo
Logo

Математический маятник

1.1  ?? Запишите формулу для периода $T$ малых колебаний математического маятника.

__
$T=2\pi\sqrt{\cfrac{l}{g}}$ 0.10
1.2  ?? Получите точную формулу для зависимости угловой скорости движения маятника от угла отклонения $\omega \left(\varphi \right)$ при заданной амплитуде колебаний $\varphi _{0} $ и известных значениях $l, g$.

__
ЗСЭ 0.10
$\omega=\sqrt{\cfrac{2g}{l}\left(\cos \varphi-\cos \varphi_{0}\right)}$ 0.30
1.3  ?? Запишите точное выражение для расчета времени $t_{1} $ по известной зависимости угловой скорости от угла отклонения $\omega \left(\varphi \right)$.

__
$dt=\cfrac{d\varphi}{\omega}$ 0.10
$t_{1}=\int_{0}^{\varphi_{0}} \cfrac{d \varphi}{\sqrt{\cfrac{2g}{l}\left(\cos \varphi-\cos \varphi_{0}\right)}}$ 0.20
1.4  ?? Выразите период колебаний $T$ через время $t_{1} $.

__
$T=4t_1$ 0.10
1.5  ?? Запишите формулу, связывающую угловую скорость в безразмерных единицах $\widetilde{\omega }=\cfrac{d\varphi }{d\tau } $ с ранее введенной угловой скоростью $\omega $.

__
$\widetilde\omega=\sqrt{\cfrac{l}{g}}\omega$ 0.20
1.6  ?? Определите период малых колебаний $\widetilde{T}$ математического маятника в безразмерных единицах времени.

__
$\widetilde T=2\pi$ 0.20
1.7  ?? Определите зависимость угловой скорости $\widetilde{\omega }$ от угла отклонения $\varphi $: $\widetilde{\omega }\left(\varphi \right)$.

__
$\widetilde{\omega}(\varphi)=\sqrt{2(\cos \varphi-\cos \varphi_{0})}$ 0.20
2.1  ?? Определите интервал разбиения $\Delta \varphi $.

__
$\Delta\varphi=\cfrac{\varphi_0}{N}$ 0.10
2.2  ?? Определите координаты точек разбиения $\varphi _{k} $.

__
$\varphi_k=\varphi_{k-1}-\Delta\varphi$ 0.10
2.3  ?? Выразите угловую скорость $\omega _{k} $ в точке $\varphi _{k} $ при произвольном начальном угле отклонения $\varphi _{0} $. Запишите эту формулу для частного случая $\varphi _{0} =\cfrac{\pi }{2} $.

__
$\omega_k=\sqrt{2(\cos \varphi_k-\cos \varphi_{0})}$ 0.10
2.4  ?? Определите время $\Delta t_{k} $ прохождения $k$-того интервала от $\varphi _{k-1} $ до $\varphi _{k} $.

__
Основная идея: $\langle\omega\rangle=\cfrac{1}{2}(\omega_{k-1}+\omega_k)$ 0.50
$\Delta t=\cfrac{2\Delta\varphi}{\omega_{k-1}+\omega_k}$ 0.50
2.5  ?? Найдите выражение для времени $t_{k} $ прохождения шарика до угла $\varphi _{k} $. Для упрощения расчетов выразите его через время $t_{k-1} $ прохождения до предыдущего значения угла $\varphi _{k-1} $.

__
$t_k=t_{k-1}+\Delta t_k$ 0.10
2.6  ?? Приведите формулу для периода колебаний $T_{N} $ при заданном разбиении на $N$ интервалов.

__
$T_N=4t_N$ 0.10
3.1  ?? Проведите расчеты времен $t_{k} $ прохождения точек с координатами $\varphi _{k} $ для $N=1, 2, 4, 8, 16, 32$. Найдите приближенные значения периодов колебаний $T_{N} $, рассчитанные по $N$ точкам. Результаты представьте в Таблице 1.

__
Рассчитан период для $N=32$ 1.20
Рассчитан период для $N=16$ 1.00
Рассчитан период для $N=8$ 0.80
Рассчитан период для $N=4$ 0.60
Рассчитан период для $N=2$ 0.40
Рассчитан период для $N=1$ 0.20
3.2  ?? Постройте График 1 закона движения маятника $\varphi (t)$ за четверть периода по результатам расчетов при $N=16$.

__
График: Нанесены точки в соответствии с таблицей 0.30
График: Проведена сглаживающая кривая 0.20
3.3  ?? На том же Графике 1 постройте закон движения $\varphi (t)$, считая, что колебания являются малыми. Результаты расчетов закона движения приведите в Таблице 2.

__
График: Проведен расчет закона движения, таблица 2 0.50
График: Нанесены точки в соответствии с таблицей 0.30
График: Проведена сглаживающая кривая 0.20
3.4  ?? Рассчитайте относительные погрешности определения периодов $\varepsilon _{N} $. Результаты представьте в Таблице 3.

__
Проведены расчеты погрешностей (правильно), таблица 3 0.50
3.5  ?? Докажите на Графике 2 применимость приведенной выше формулы для относительной погрешности и найдите значения параметров $C$ и $\gamma $.

__
График: Использован двойной логарифмический масштаб 0.50
График: Построен линеаризованный график 0.50
График: Получена линейная зависимость 0.30
Найден показатель степени $\gamma\in[2.2; 2.4]$ 0.50
Найден коэффициент $C\in[0.09; 0.29]$ 0.50
3.6  ?? Определите минимальное значение $N_{\min } $, при котором относительная погрешность расчета периода не превышает 0.2%.

__
Определено $N=8\pm1$ 0.50
4.1  ?? Рассчитайте периоды колебаний математического маятника для следующего набора амплитуд $\varphi _{0} $: $15^\circ ,30^\circ ,45^\circ ,60^\circ ,75^\circ $ и $90^\circ $, который вы уже определили.

__
Значения периодов отличаются от табличных не более, чем на 0,02. Баллы за каждый рассчитанный период 5 × 0.80
Добавлен период из части 3 0.20
4.2  ?? Докажите на Графике 3 применимость приведенной выше формулы для зависимости периода колебаний маятника от его амплитуды.

__
Предложена линеаризация $T(\varphi_0^2)$ 0.50
Построен график 0.50
Получена линейная зависимость 0.50
4.3  ?? Определите значения параметров $a,b$.

__
Параметр $a = 1$. Засчитывается только такой 0.30
Параметр $b\in[13; 16]$ 1.00
4.4  ?? Обоснуйте, при каких углах $\varphi _{0} $, выраженных в градусах, колебания математического маятника можно считать малыми.

__
«малый» угол $\varphi < 45^\circ$ 1.00