1.1
??
Запишите формулу для периода $T$ малых колебаний математического маятника.
__
$T=2\pi\sqrt{\cfrac{l}{g}}$
0.10
1.2
??
Получите точную формулу для зависимости угловой скорости движения маятника от угла отклонения $\omega \left(\varphi \right)$ при заданной амплитуде колебаний $\varphi _{0} $ и известных значениях $l, g$.
1.3
??
Запишите точное выражение для расчета времени $t_{1} $ по известной зависимости угловой скорости от угла отклонения $\omega \left(\varphi \right)$.
1.4
??
Выразите период колебаний $T$ через время $t_{1} $.
__
$T=4t_1$
0.10
1.5
??
Запишите формулу, связывающую угловую скорость в безразмерных единицах $\widetilde{\omega }=\cfrac{d\varphi }{d\tau } $ с ранее введенной угловой скоростью $\omega $.
__
$\widetilde\omega=\sqrt{\cfrac{l}{g}}\omega$
0.20
1.6
??
Определите период малых колебаний $\widetilde{T}$ математического маятника в безразмерных единицах времени.
__
$\widetilde T=2\pi$
0.20
1.7
??
Определите зависимость угловой скорости $\widetilde{\omega }$ от угла отклонения $\varphi $: $\widetilde{\omega }\left(\varphi \right)$.
2.5
??
Найдите выражение для времени $t_{k} $ прохождения шарика до угла $\varphi _{k} $. Для упрощения расчетов выразите его через время $t_{k-1} $ прохождения до предыдущего значения угла $\varphi _{k-1} $.
__
$t_k=t_{k-1}+\Delta t_k$
0.10
2.6
??
Приведите формулу для периода колебаний $T_{N} $ при заданном разбиении на $N$ интервалов.
__
$T_N=4t_N$
0.10
3.1
??
Проведите расчеты времен $t_{k} $ прохождения точек с координатами $\varphi _{k} $ для $N=1, 2, 4, 8, 16, 32$. Найдите приближенные значения периодов колебаний $T_{N} $, рассчитанные по $N$ точкам. Результаты представьте в Таблице 1.
__
Рассчитан период для $N=32$
1.20
Рассчитан период для $N=16$
1.00
Рассчитан период для $N=8$
0.80
Рассчитан период для $N=4$
0.60
Рассчитан период для $N=2$
0.40
Рассчитан период для $N=1$
0.20
3.2
??
Постройте График 1 закона движения маятника $\varphi (t)$ за четверть периода по результатам расчетов при $N=16$.
__
График: Нанесены точки в соответствии с таблицей
0.30
График: Проведена сглаживающая кривая
0.20
3.3
??
На том же Графике 1 постройте закон движения $\varphi (t)$, считая, что колебания являются малыми. Результаты расчетов закона движения приведите в Таблице 2.
__
График: Проведен расчет закона движения, таблица 2
0.50
График: Нанесены точки в соответствии с таблицей
0.30
График: Проведена сглаживающая кривая
0.20
3.4
??
Рассчитайте относительные погрешности определения периодов $\varepsilon _{N} $. Результаты представьте в Таблице 3.
__
Проведены расчеты погрешностей (правильно), таблица 3
0.50
3.5
??
Докажите на Графике 2 применимость приведенной выше формулы для относительной погрешности и найдите значения параметров $C$ и $\gamma $.
3.6
??
Определите минимальное значение $N_{\min } $, при котором относительная погрешность расчета периода не превышает 0.2%.
__
Определено $N=8\pm1$
0.50
4.1
??
Рассчитайте периоды колебаний математического маятника для следующего набора амплитуд $\varphi _{0} $: $15^\circ ,30^\circ ,45^\circ ,60^\circ ,75^\circ $ и $90^\circ $, который вы уже определили.
__
Значения периодов отличаются от табличных не более, чем на 0,02. Баллы за каждый рассчитанный период
5 × 0.80
Добавлен период из части 3
0.20
4.2
??
Докажите на Графике 3 применимость приведенной выше формулы для зависимости периода колебаний маятника от его амплитуды.
__
Предложена линеаризация $T(\varphi_0^2)$
0.50
Построен график
0.50
Получена линейная зависимость
0.50
4.3
??
Определите значения параметров $a,b$.
__
Параметр $a = 1$. Засчитывается только такой
0.30
Параметр $b\in[13; 16]$
1.00
4.4
??
Обоснуйте, при каких углах $\varphi _{0} $, выраженных в градусах, колебания математического маятника можно считать малыми.
