1.1  ^?? Запишите формулу для периода $T$ малых колебаний математического маятника.

Формула для периода малых колебаний математического маятника имеет вид $
T=2 \pi \sqrt{\cfrac{l}{g}}.
$

1.2  ^?? Получите точную формулу для зависимости угловой скорости движения маятника от угла отклонения $\omega \left(\varphi \right)$ при заданной амплитуде колебаний $\varphi _{0} $ и известных значениях $l, g$.

Из уравнения закона сохранения механической энергии для тела маятника (нулевой уровень потенциальной энергии принят на уровне точки подвеса)
\[
\frac{m l^{2} \omega^{2}}{2}=m g l\left(\cos \varphi-\cos \varphi_{0}\right)
\]
следует формула для угловой скорости движения маятника
\[
\omega=\sqrt{\frac{2g}{l}\left(\cos \varphi-\cos \varphi_{0}\right)}.
\]

1.3  ^?? Запишите точное выражение для расчета времени $t_{1} $ по известной зависимости угловой скорости от угла отклонения $\omega \left(\varphi \right)$.

Разобьем весь участок движения от \( \varphi_{0} \) до нуля на бесконечно малые интервалы \( d \varphi . \) Время \( d t, \) за которое маятник пройдет этот интервал, равно
\[
d t=\frac{d \varphi}{\omega}=\frac{d \varphi}{\sqrt{\frac{2g}{l}\left(\cos \varphi-\cos \varphi_{0}\right)}}
\]
Тогда время движения \( t_{1} \) определяется как сумма малых интервалов, что сводится к простому интегрированию
\[
t_{1}=\int_{0}^{\varphi_{0}} d t=\int_{0}^{\varphi_{0}} \frac{d \varphi}{\sqrt{\frac{2g}{l}\left(\cos \varphi-\cos \varphi_{0}\right)}}
\]

1.4  ^?? Выразите период колебаний $T$ через время $t_{1} $.

Период колебаний в 4 раза больше найденного времени \( t_{1}, \) то есть $T=4 t_{1}$.

1.5  ^?? Запишите формулу, связывающую угловую скорость в безразмерных единицах $\widetilde{\omega }=\cfrac{d\varphi }{d\tau } $ с ранее введенной угловой скоростью $\omega $.

Угловая скорость в безразмерных единицах выражается следующим образом
\[
\widetilde{\omega}=\frac{d \varphi}{d \tau}=\frac{d \varphi}{\sqrt{\frac{g}{l}} d t}=\sqrt{\frac{l}{g}}\omega
\]

1.6  ^?? Определите период малых колебаний $\widetilde{T}$ математического маятника в безразмерных единицах времени.

Период малых колебаний в безразмерных единицах равен
\[
\widetilde{T}=\sqrt{\frac{g}{l}} T=2 \pi
\]

1.7  ^?? Определите зависимость угловой скорости $\widetilde{\omega }$ от угла отклонения $\varphi $: $\widetilde{\omega }\left(\varphi \right)$.

Зависимость угловой скорости \( \widetilde{\omega} \) от угла отклонения \( \varphi \) имеет вид
\[
\widetilde{\omega}(\varphi)=\sqrt{2(\cos \varphi-\cos \varphi_{0})}
\]

2.1  ^?? Определите интервал разбиения $\Delta \varphi $.

Интервал разбиения равен $\Delta \varphi=\frac{\varphi_{0}}{N}$.

2.2  ^?? Определите координаты точек разбиения $\varphi _{k} $.

Сначала следует задать «нулевой» угол отклонения \( \varphi_{0} \), а координаты остальных точек разбиения задаются формулой
\[
\varphi_{k}=\varphi_{k-1}-\Delta \varphi
\]

2.3  ^?? Выразите угловую скорость $\omega _{k} $ в точке $\varphi _{k} $ при произвольном начальном угле отклонения $\varphi _{0} $. Запишите эту формулу для частного случая $\varphi _{0} =\cfrac{\pi }{2} $.

Угловая скорость \( \omega_{k} \) в точке \( \varphi_{k} \) рассчитывается по формуле
\[
\omega_{k}=\sqrt{2(\cos \varphi_{k}-\cos \varphi_{0})}
\]
В данном случае (при \( \varphi_{0}=\cfrac{\pi}{2} \) ) эта формула еще больше упрощается
$$
\omega_{k}=\sqrt{2\cos \varphi_{k}}
$$

2.4  ^?? Определите время $\Delta t_{k} $ прохождения $k$-того интервала от $\varphi _{k-1} $ до $\varphi _{k} $.

В рекомендуемом приближении равноускоренного движения средняя скорость на выбранном интервале равна среднему арифметическому скоростей на концах интервала
\[
\langle\omega\rangle=\frac{1}{2}\left(\omega_{k-1}+\omega_{k}\right)
\]
Поэтому время \( \Delta t_{k} \) прохождения \( k \) -го интервала от \( \varphi_{k-1} \) до \( \varphi_{k} \) рассчитывается по формуле
\[
\Delta t_{k}=\frac{2 \Delta \varphi}{\omega_{k-1}+\omega_{k}}
\]

2.5  ^?? Найдите выражение для времени $t_{k} $ прохождения шарика до угла $\varphi _{k} $. Для упрощения расчетов выразите его через время $t_{k-1} $ прохождения до предыдущего значения угла $\varphi _{k-1} $.

Время \( t_{k} \) прохождения точки \( \varphi_{k} \) находится по формуле
\[
t_{k}=t_{k-1}+\Delta t_{k}
\]
при начальном условии \( t_{0}=0 \).

2.6  ^?? Приведите формулу для периода колебаний $T_{N} $ при заданном разбиении на $N$ интервалов.

Период колебаний \( T_{N} \) при разбиении на \( N \) интервалов рассчитывается по формуле $
T_{N}=4 t_{N}
$.

3.1  ^?? Проведите расчеты времен $t_{k} $ прохождения точек с координатами $\varphi _{k} $ для $N=1, 2, 4, 8, 16, 32$. Найдите приближенные значения периодов колебаний $T_{N} $, рассчитанные по $N$ точкам. Результаты представьте в Таблице 1.

Результаты расчетов угловых скоростей, времен и периодов колебаний при указанных значениях числа интервалов разбиения приведены в Таблице 1

3.2  ^?? Постройте График 1 закона движения маятника $\varphi (t)$ за четверть периода по результатам расчетов при $N=16$.

Для расчета графика закона движения в приближении малых колебаний необходимо
воспользоваться формулой
\[
\varphi(t)=\frac{\pi}{2} \cos t
\]
Результаты расчетов по этому закону представлены в таблице 2 и на графике. Там же приведен график рассчитанного закона
движения. Интересно отметить, что в первом случае задаются значения времен, а рассчитываются соответствующие углы отклонения; а во втором, наоборот: задаются углы отклонения и проводится расчет времен.

3.3  ^?? На том же Графике 1 постройте закон движения $\varphi (t)$, считая, что колебания являются малыми. Результаты расчетов закона движения приведите в Таблице 2.

См. график 3.2

3.4  ^?? Рассчитайте относительные погрешности определения периодов $\varepsilon _{N} $. Результаты представьте в Таблице 3.

Результаты расчетов погрешностей $\varepsilon_{N}$ периодов колебаний при различном числе интервалов разбиения \( N \) приведены в Таблице 3.
Для определения параметров зависимости \( \varepsilon_{N}=\cfrac{C}{N^{\gamma}}, \) ее необходимо представить в двойном логарифмическом масштабе \( \ln \varepsilon_{N}=\ln C-\gamma \ln N \).

3.5  ^?? Докажите на Графике 2 применимость приведенной выше формулы для относительной погрешности и найдите значения параметров $C$ и $\gamma $.

На рисунке показан график этой зависимости, построенный по данным Таблицы 3. Линейность полученной зависимости показывает применимость формулы для зависимости погрешности от числа \( N \). Параметры этой линейной зависимости, рассчитанные по методу наименьших квадратов равны: коэффициент наклона \( a \approx-2,3 \) и сдвиг \( b \approx-1,65 \). Следовательно, искомые параметры зависимости равны
$$
\gamma \approx-a=2.3 \\
C=\exp (b) \approx 0.19
$$

3.6  ^?? Определите минимальное значение $N_{\min } $, при котором относительная погрешность расчета периода не превышает 0.2\%.

Из формулы в п. 3.4 несложно найти число интервалов разбиений, необходимых для достижения
погрешности \( \varepsilon=0.002 \)
\[
N_{\min }=\left(\frac{C}{\varepsilon}\right)^{1 / \gamma} \approx 8 .
\]
Итак, все дальнейшие расчеты можно проводить при $ N=N_\min=8 $.

4.1  ^?? Рассчитайте периоды колебаний математического маятника для следующего набора амплитуд $\varphi _{0} $: $15^\circ ,30^\circ ,45^\circ ,60^\circ ,75^\circ $ и $90^\circ $, который вы уже определили.

Результаты расчетов периодов колебаний для различных амплитуд колебаний показаны в Таблице 4.

4.2  ^?? Докажите на Графике 3 применимость приведенной выше формулы для зависимости периода колебаний маятника от его амплитуды.

При малых колебаниях формула для периода колебаний
\[
T\left(\varphi_{0}\right)=T_{0}\left(a+\frac{\varphi_{0}^{2}}{b}\right)
\]
должна совпадать с формулой для периода колебаний математического маятника, откуда следует, что параметр \( a=1 . \) Для проверки применимости формулы выше к описанию результатов расчетов необходимо построить график зависимости величины \( \left(\frac{T}{T_{0}}-1\right) \) от квадрата амплитуды \( \varphi_{0}^{2}, \) который показан на рисунке.

4.3  ^?? Определите значения параметров $a,b$.

Коэффициент наклона полученной зависимости равен \( 0,0706, \) поэтому параметр \( b, \) входящий в формулу п. 4.2, примерно равен \( b \approx 14 \).

4.4  ^?? Обоснуйте, при каких углах $\varphi _{0} $, выраженных в градусах, колебания математического маятника можно считать малыми.

При допустимой погрешности реального эксперимента в \( 5 \% \) отклонение величины периода от периода малых колебаний не будет заметно, если выполняется неравенство
\[
\frac{\varphi_{0}^{2}}{b}<0.05
\]
откуда следует, что «малыми» углами могут считаться углы, меньшие, чем \( \varphi_{0}<45^{\circ} \).