Методом размерностей получаем: $p=1$, $q=r=2$.

Сила тяжести уравновешивается подъемной силой, сила тяги – силой сопротивления. $$ F=X=\frac{Y}{K}=\frac{mg}{K}=9.8~кН $$

На самолёт действуют три силы: сила тяжести $mg$ (вниз), сила сопротивления $X$ (под углом к $\gamma$ горизонту, против скорости), подъёмная сила $Y$ (под углом $\gamma$ к вертикали, перпендикулярно скорости). Связь расстояний и сил: $$ \frac{L}{H} = \mathrm{tg} \gamma = \frac{Y}{X} = \frac{c_y}{c_x}. $$ Чтобы пролететь максимальное расстояние – необходимо максимизировать отношение $c_y$ к $c_x$. Проводим на графике касательную с максимальным коэффициентом наклона и находим $L \approx 26~км$

Закон сохранения энергии $$ dK=Fds-\beta v^2 ds, $$ $$ \frac{ d(\beta v^2 ) }{ F-\beta v^2 } = \frac{2 \beta}{m} ds $$ $$ v(s) = \sqrt{ \frac{F}{\beta} \left[1 - \exp \left( \frac{-2\beta}{m} l \right) \right] } $$

Связь между величинами $$ N = Xv = \frac{Y}{K} v = \frac{mg}{K} \frac{dS}{dt} = \frac{-mg}{K} \frac{dS}{dm} μ. $$ После интегрирования получаем ответ $$ S = \frac{NK}{μg} \ln \left( \frac{m_0}{m_1} \right) . $$

Рассмотрим момент сил относительно центра масс, который возникает при отклонении от горизонтального положения на некий угол $\delta \alpha$. За положительное значение возьмём вращение по часовой стрелке. Схема А и В (безразличное равновесия): $$ \delta M_А = \frac{Y}{\alpha} \delta \alpha \cdot l - \frac{y}{\alpha}\delta \alpha \cdot l_c = \frac{Y l - y l_c}{\alpha} \delta \alpha = 0. $$ Схема Б (устойчивое равновесие): $$ \delta M_Б = - \frac{Y}{\alpha} \delta \alpha \cdot l + \frac{y}{\alpha} (-\delta \alpha) \cdot l_c = -\frac{Y l + y l_c}{\alpha} \delta \alpha < 0. $$ Схема Г (неустойчивое равновесие): $$ \delta M_Г = + \frac{Y}{\alpha} \delta \alpha \cdot l - \frac{y}{\alpha} (-\delta \alpha) \cdot l_c = +\frac{Y l + y l_c}{\alpha} \delta \alpha > 0. $$

Изменение импульса молекулы при ударе (проекция на перпендикулярное крылу направление): $$ \Delta p = -2mv_1 \sin \alpha⁡, $$ где $m$ – масса молекулы. На крыло в единицу времени попадает $n v_1 S \sin⁡ \alpha$ молекул, где $n$ – концентрация молекул. Сила, с которой молекулы действуют на крыло: $$ F = 2\rho v_1^2 S \sin^2 \alpha. $$ Подъемная сила – проекция силы на вертикальную ось: $$ Y = 2 \rho v_1^2 S \sin^2 \alpha \cos \alpha. $$

Максимум функции $\sin^2 \alpha \cos \alpha$ получается при $$ \alpha_M = \mathrm{arctg} \sqrt{2}. $$ Он равен $$ Y_M = \frac4{3\sqrt{3}} \rho v_1^2 S = 0.77 \rho v_1^2 S. $$

Из соображений размерности $$ \tau = \frac{\rho c h^2}{\lambda}. $$ Отсюда $$ h = \sqrt{ \frac{\lambda \tau }{ \rho c } }= 1~см. $$

Модуль скорости из равенства сил: $$ v=\frac{Mg}{2\pi R^2 L \rho \omega }. $$ Направление скорости - вправо.

Уравнение движения для горизонтальной оси: $$ a_x=k \omega v_y, \quad k=\frac{ 2\pi R^2 L \rho }{m}. $$ Уравнение движения для вертикальной оси: $$ a_y=g - k \omega v_x. $$ Зависимость координат от времени получается интегрированием уравнением $$ x(t) = \frac{g}{k \omega} t - \frac{g}{ k^2 \omega^2 } \sin ⁡k \omega t, \quad y(t) = \frac{g}{ k^2 \omega^2 } - \frac{g}{ k^2 \omega^2 } \cos ⁡k \omega t. $$ Таким образом можно сказать, что накладывается вращательное движение с угловой частотой $$ \Omega = k \omega = \frac{2 \pi R^2 L \rho \omega}{m}, $$ и поступательное движение с дрейфовой скоростью $$ v = \frac{g}{ k \omega} = \frac{mg}{ 2 \pi R^2 L \rho \omega}. $$

Максимальная скорость будет низшей точке траектории, которая находится на $2 \frac{g}{ k^2 \omega^2 }$ ниже. Из ЗСЭ $$ v_{\max} = \frac{2g}{k \omega} = \frac{mg}{ \pi R^2 L\rho \omega}. $$