A1  ^0.20 Найдите степени $p, q, r$.

Методом размерностей получаем: $p=1$, $q=r=2$.

A2  ^0.30 Для некоторого самолёта при горизонтальном полёте оказалось $K=c_y/c_x =15$. Определите, чему в этом случае равна сила тяги $F$, направленная горизонтально, если масса самолёта $m=15~т$, ускорение свободного падения $g=9.8~м/с^2$.

Сила тяжести уравновешивается подъемной силой, сила тяги – силой сопротивления.
$$
F=X=\frac{Y}{K}=\frac{mg}{K}=9.8~кН
$$

A3  ^1.00 С помощью указанного графика (рис. 2), определите, на какое максимальное расстояние $S$ по горизонтали может переместиться самолёт при планировании, если по вертикали он опустится на расстояние $H=1~км$. При планировании двигатели самолёта выключены, то есть сила тяги равна нулю, а скорость самолета постоянна.

На самолёт действуют три силы: сила тяжести $mg$ (вниз), сила сопротивления $X$ (под углом к $\gamma$ горизонту, против скорости), подъёмная сила $Y$ (под углом $\gamma$ к вертикали, перпендикулярно скорости). Связь расстояний и сил:
$$
\frac{L}{H} = \mathrm{tg} \gamma = \frac{Y}{X} = \frac{c_y}{c_x}.
$$

Чтобы пролететь максимальное расстояние – необходимо максимизировать отношение $c_y$ к $c_x$. Проводим на графике касательную с максимальным коэффициентом наклона и находим $L \approx 26~км$

A4  ^1.50 Зная, что сила сопротивления $X=c_x \rho^p v^q L^r=\beta v^q$, найдите, как скорость самолёта $v$ зависит от пройденного расстояния $s$. Считайте, что в начальный момент скорость равна нулю. Ответ выразите через силу тяги $F_Т$, коэффициент $\beta$, массу самолёта $m$, пройденное расстояние $s$.

Закон сохранения энергии
$$
dK=Fds-\beta v^2 ds,
$$
$$
\frac{ d(\beta v^2 ) }{ F-\beta v^2 } = \frac{2 \beta}{m} ds
$$
$$
v(s) = \sqrt{ \frac{F}{\beta} \left[1 - \exp \left( \frac{-2\beta}{m} l \right) \right] }
$$

A5  ^1.50 Определите дальность полёта $S$.

Связь между величинами
$$
N = Xv = \frac{Y}{K} v = \frac{mg}{K} \frac{dS}{dt} = \frac{-mg}{K} \frac{dS}{dm} μ.
$$
После интегрирования получаем ответ
$$
S = \frac{NK}{μg} \ln \left( \frac{m_0}{m_1} \right) .
$$

B1  ^1.20 Укажите, какие из этих 4 схем будут являться устойчивыми (стремятся сохранить горизонтальное положение), неустойчивыми (самопроизвольно отклоняются от горизонтального положения), безразличными (ни то, ни другое)? Считайте, что $\left|\alpha_c\right|=\alpha$, и что силы $Y$ и y линейно зависят от $\alpha$. Ответ обоснуйте с помощью формул, схем или рисунков.

Рассмотрим момент сил относительно центра масс, который возникает при отклонении от горизонтального положения на некий угол $\delta \alpha$. За положительное значение возьмём вращение по часовой стрелке.
Схема А и В (безразличное равновесия):
$$
\delta M_А = \frac{Y}{\alpha} \delta \alpha \cdot l - \frac{y}{\alpha}\delta \alpha \cdot l_c = \frac{Y l - y l_c}{\alpha} \delta \alpha = 0.
$$
Схема Б (устойчивое равновесие):
$$
\delta M_Б = - \frac{Y}{\alpha} \delta \alpha \cdot l + \frac{y}{\alpha} (-\delta \alpha) \cdot l_c = -\frac{Y l + y l_c}{\alpha} \delta \alpha < 0.
$$
Схема Г (неустойчивое равновесие):
$$
\delta M_Г = + \frac{Y}{\alpha} \delta \alpha \cdot l - \frac{y}{\alpha} (-\delta \alpha) \cdot l_c = +\frac{Y l + y l_c}{\alpha} \delta \alpha > 0.
$$

C1  ^1.00 Определите подъёмную силу крыла $Y$, если плотность окружающей среды $\rho$. Считайте, что удары молекул абсолютно упругие.

Изменение импульса молекулы при ударе (проекция на перпендикулярное крылу направление):
$$
\Delta p = -2mv_1 \sin \alpha⁡,
$$

где $m$ – масса молекулы.
На крыло в единицу времени попадает $n v_1 S \sin⁡ \alpha$ молекул, где $n$ – концентрация молекул. Сила, с которой молекулы действуют на крыло:
$$
F = 2\rho v_1^2 S \sin^2 \alpha.
$$
Подъемная сила – проекция силы на вертикальную ось:
$$
Y = 2 \rho v_1^2 S \sin^2 \alpha \cos \alpha.
$$

C2  ^0.50 При каком угле атаки крыла $\alpha_M$ подъемная сила максимальна? Определите это максимальное значение подъемной силы.

Максимум функции $\sin^2 \alpha \cos \alpha$ получается при
$$
\alpha_M = \mathrm{arctg} \sqrt{2}.
$$
Он равен
$$
Y_M = \frac4{3\sqrt{3}} \rho v_1^2 S = 0.77 \rho v_1^2 S.
$$

C3  ^0.50 Оцените по порядку, чему должна быть равна толщина теплоизоляции $h$, чтобы температура теплоизоляции (и аппарата) не успела выровняться.

Из соображений размерности
$$
\tau = \frac{\rho c h^2}{\lambda}.
$$

Отсюда

$$
h = \sqrt{ \frac{\lambda \tau }{ \rho c } }= 1~см.
$$

D1  ^0.30 Найдите модуль и направление скорости цилиндра, при которой он будет двигаться горизонтально без ускорения. Масса цилиндра $M$. Ускорение свободного падения $g$.

Модуль скорости из равенства сил:
$$
v=\frac{Mg}{2\pi R^2 L \rho \omega }.
$$
Направление скорости - вправо.

D2  ^1.50 Вращающийся цилиндр отпустили в поле тяжести без начальной скорости. Укажите зависимости координат $x$ и $y$ от времени $t$. Качественно нарисуйте траекторию движения цилиндра.

Уравнение движения для горизонтальной оси:
$$
a_x=k \omega v_y, \quad k=\frac{ 2\pi R^2 L \rho }{m}.
$$

Уравнение движения для вертикальной оси:
$$
a_y=g - k \omega v_x.
$$

Зависимость координат от времени получается интегрированием уравнением
$$
x(t) = \frac{g}{k \omega} t - \frac{g}{ k^2 \omega^2 } \sin ⁡k \omega t, \quad y(t) = \frac{g}{ k^2 \omega^2 } - \frac{g}{ k^2 \omega^2 } \cos ⁡k \omega t.
$$

Таким образом можно сказать, что накладывается вращательное движение с угловой частотой
$$
\Omega = k \omega = \frac{2 \pi R^2 L \rho \omega}{m},
$$
и поступательное движение с дрейфовой скоростью
$$
v = \frac{g}{ k \omega} = \frac{mg}{ 2 \pi R^2 L \rho \omega}.
$$

D3  ^0.50 Определите максимальную скорость $v_{max}$ центра цилиндра для движения, описанного в D2.

Максимальная скорость будет низшей точке траектории, которая находится на $2 \frac{g}{ k^2 \omega^2 }$ ниже. Из ЗСЭ
$$
v_{\max} = \frac{2g}{k \omega} = \frac{mg}{ \pi R^2 L\rho \omega}.
$$