Магнетосопротивление — это изменение характеристик электрического тока, протекающего через проводник, при помещении его в магнитное поле. Рассмотрим некоторые механизмы этого явления.

Если проводник однородный, то при создании постоянной внешней разности потенциалов носители заряда в течение короткого времени перераспределяются по объему и поверхности проводника, и начинают участвовать в упорядоченном движении. В результате возникает некоторое стационарное состояние, в котором напряженности электрических полей и плотности тока во всех точках проводника поддерживаются постоянными. Работа электрического поля, которое ускоряет носители заряда, в среднем равняется потерям энергии при взаимодействии зарядов с кристаллической решеткой материала. Поскольку частота столкновений с дефектами решетки (и вместе с ней эффективная тормозящая сила) пропорциональна скорости движения носителя заряда, то установившаяся скорость дрейфа ${\vec{v}}_{dr}$ носителя пропорциональна разгоняющей силе, то есть напряженности электрического поля: ${\vec{v}}_{dr}=\gamma \cdot \vec{E}$. Коэффициент пропорциональности $\gamma $ называют \textit{подвижностью} носителя заряда, и эта величина зависит именно от структуры решетки проводника. Удельное сопротивление проводника $\rho $ зависит от подвижности и концентрации носителей заряда в проводнике. Протекание тока в объеме проводника описывают вектором плотности тока $\vec{j}$. Направление этого вектора указывает направление движения заряда (то есть он направлен вдоль скорости носителей с положительным зарядом и противоположно скорости носителей с отрицательным зарядом), а величина $\overrightarrow{j}$ численно равна силе тока, приходящейся на единицу площади поперечного сечения. Согласно закону Ома в дифференциальной форме, $\vec{j}=\frac{1}{\rho }\vec{E}$.

1 В некотором однородном проводнике носители заряда имеют заряд $e$, распределены в проводнике с постоянной концентрацией $n$, и их подвижность равна $\gamma $. В ответе запишите формулу, выражающую удельное сопротивление $\rho $ проводника через эти величины.

Рассмотрим теперь однородный проводник, для которого удельное сопротивление $\rho$ и подвижность носителей $\gamma$ являются константами. Пусть в этом проводнике наряду с однородным электрическим полем с напряженностью $\vec{E}$ создано однородное магнитное поле с индукцией $\vec{B}\perp\vec{E}$.

2 Под каким углом $\alpha$ к направлению вектора $\vec{E}$ будет течь ток в этом проводнике? В ответе запишите формулу, выразив $\alpha$ через величины, заданные в условии задачи.

3 Как в этом случае величина плотности тока $j$ зависит от величины индукции $B$ магнитного поля? В ответе запишите формулу, выразив $j$ через величины, заданные в условии задачи.

4 Вычислите величину угла $\alpha$ в случае, когда $\gamma =10~м^2/(В\cdot с)$, а $B=0.1~Тл$. Ответ запишите в градусах, округлив до целого числа.

Допустим, что наш проводник имеет достаточно большое удельное сопротивление, равное $\rho =0.1~Ом\cdot м$, и подвижность носителей заряда (электронов проводимости) $\gamma =10~м^{2}/(В\cdotс)$. Пусть, кроме того, вещество этого проводника в электрическом поле поляризуется, то есть его можно характеризовать диэлектрической проницаемостью $\varepsilon=3$. Этим материалом заполнили внутренний объем плоского конденсатора, пластины которого квадратные со стороной $H=10~см$ и расположены на малом расстоянии $d=2~мм$ друг от друга. Удельное сопротивление материала пластин на несколько порядков меньше, чем у нашего проводника. Внутри конденсатора создано однородное магнитное поле с индукцией $B=0.1~Тл$, вектор которой параллелен пластинам и направлен вдоль одной из сторон каждого из квадратов (см. рисунок). К пластинам подключен идеальный источник, создающий между ними напряжение $U=0.1~В$. К центрам противолежащих свободных боковых сторон параллелепипеда, который образует наш проводник в конденсаторе, подключены идеальные вольтметры.

5 Найдите величину напряжения, которую показывает вольтметр $V1$ при установившемся режиме протекания тока. Ответ запишите в вольтах, округлив до целого числа.

6 Исследуйте зависимость напряжения, которое показывает вольтметр $V2$ в установившемся режиме протекания тока, от величины индукции магнитного поля $B$. В ответе запишите формулу, выразив $U_2$ через величины, заданные в условии задачи.

7 Вычислите величину напряжения, которую показывает вольтметр $V2$ в установившемся режиме протекания тока. Ответ запишите в вольтах, округлив до целого числа.

8 Найдите величину силы тока, протекающего через источник в установившемся режиме. Ответ запишите в амперах, округлив до целого числа.

Пусть теперь нашим проводником (все его характеристики имеют ту же величину, что и в предыдущем случае) заполнили внутренний объем цилиндрического конденсатора высотой $H$. Диаметр его внутренней обкладки равен $d$, внешней обкладки — $2d$, а удельное сопротивление обкладок вновь на несколько порядков меньше $\rho $. Внутри проводника может быть создано однородное магнитное поле с индукцией $B=0.1~Тл$, вектор которой параллелен оси цилиндра, а между обкладками цилиндра подано постоянное напряжение $U=0.1~В$.

9 Найдите величину силы тока $I$, протекающего через источник в установившемся режиме в отсутствие магнитного поля ($B=0$). Ответ запишите в амперах, округлив его до сотых долей.

10 Найдите величину силы тока $I$, протекающего через источник в установившемся режиме при включенном магнитном поле. Ответ запишите в амперах, округлив его до сотых долей.

11 Как зависит электрическое сопротивление $R$ «цилиндрического резистора», сделанного из нашего проводника, от величины индукции $B$ магнитного поля? Сопротивление измеряется между обкладками цилиндра. В ответе запишите формулу для $R$, выразив сопротивление через $B$, характеристики проводника ($\rho$ и $\gamma$) и геометрические параметры.

12 Найдите мощность $P$ тепловыделения в нашем «цилиндрическом резисторе» при включенном магнитном поле. Ответ запишите в милливаттах, округлив до десятых долей.

В предыдущей установке (в цилиндрическом конденсаторе) наш проводник заменили на другой. Новый проводник является неоднородным. Его диэлектрическая проницаемость и концентрация электронов проводимости постоянны и по величине такие же, как у рассмотренного выше однородного материала. А подвижность электронов проводимости из-за изменения свойств кристаллической решетки изменяется в направлении вдоль радиуса $r$ цилиндрического слоя проводника по закону $\gamma \left(r\right)={\gamma }_0\cfrac{d}{2r}$, где ${\gamma }_0=10~м^{2}/(В\cdot с)$.

13 Найдите величину силы тока, протекающего через источник в установившемся режиме при включенном однородном магнитном поле с индукцией $B=0.1~Тл$. Ответ запишите в амперах, округлив до сотых долей.

14 Внутри неоднородного проводника в процессе установления стационарного режима протекания тока накапливается электрический заряд. Получите формулу, описывающую зависимость ${\varrho}_{el}(r)$ объемной плотности этого заряда в цилиндрическом слое неоднородного проводника от радиуса $r$. В ответе запишите формулу для ${\varrho }_{el}(r)$. В нее должны входить величина индукции магнитного поля $B$, сила $I$ тока через проводник, характеристики проводника (диэлектрическая проницаемость $\varepsilon $, удельное сопротивление ${\rho }_0$ вблизи внутренней обкладки, подвижность ${\gamma }_0$ электронов проводимости у внутренней обкладки), электрическая постоянная ${\varepsilon }_0$ и геометрические параметры.

15 Постройте схематически график зависимости объемной плотности ${\varrho }_{el}$ электрического заряда, накопившегося внутри неоднородного проводника при установлении стационарного протекания тока, от радиуса $r$. Отметьте на графике характерные точки: значения на краях интервала, при наличии — нули, максимальные и минимальные значения. За единицу масштаба на вертикальной оси примите значение ${\varrho}_{el}(d)$.