Logo
Logo

Интенсивности в волновой оптике

A1  0.20 Оцените радиус пятна $R$ на экране.

__
Расходимость луча после отверстия $\lambda/D$ 0.10
Радиус пятна
$$R \approx R_0 + L \theta = R_0 \left(1 + \frac{L \lambda}{2R_0^2} \right)$$
0.10
A2  0.20 Оцените интенсивность $I$ в центре пятна.

__
Идея использовать ЗСЭ, например:
$I_0 \pi R_0^2 \approx I \pi R^2$
0.10
Интенсивность:
$$I = I_0 \frac{1}{ \left(1 + \frac{L \lambda}{2R_0^2} \right)^2}$$
0.10
A3  0.30 Оцените минимальный достижимый радиус пятна $R_{\text{min}}$ при варьировании радиуса отверстия.

__
Указано, как найти этот минимальный радиус 0.10
Минимальный радиус пятна достигается при радиусе отверстия
$R_0 = \sqrt{L \lambda /2} $
0.10
Минимальный радиус
$$R_{\text{min}} \approx \sqrt{2 L\lambda}$$
0.10
B1  0.20 Оцените диаметр $D_F$ пятна в фокусе линзы.

__
Диаметр пятна $$D_F \approx 2 \theta F = 2 \frac{F\lambda}{D}.$$ 0.20
B2  0.30 Оцените интенсивность $I_F$ в фокусе линзы из энергетических соображений.

__
Интенсивность в фокусе из энергетических соображений
$$I \approx I_0 \frac{D^4}{4 F^2 \lambda^2}$$
0.30
B3  1.00 Теперь посчитайте ответ для интенсивности $I_F$ в фокусе линзы точно. Сравните с предыдущим пунктом.

__
Дифракция Френеля 0.30
Указано, что $I=E^2$ 0.10
Длина спирали
$\pi m E_0$
0.20
Интенсивность в центре
$$I = I_0 \frac{\pi^2}{16}\frac{D^4}{F^2 \lambda^2}$$
0.30
Сравнение 0.10
С1  0.30 Найдите фокусное $F$ расстояние зеркала.

__
$$F = \frac{1}{2}p$$ 0.30
С2  0.30 Оцените интенсивность $I$ в фокусе зекрала.

__
Интенсивность
$$I \approx I_0 \frac{D^4}{p^2 \lambda^2}$$
0.30
С3  0.20 Во сколько раз изменится это значение при уменьшении длины волны в два раза?

__
Увеличивается в 4 раза. 0.20
D1  0.20 Найдите фокусное расстояние $F$ зеркала.

__
$F=\frac{1}{2} R$ 0.20
D2  1.30 Оцените размер пятна $d$ в фокальной плоскости зеркала, для двух диаметров зеркала: $D_1 = 1 см$, $D_2 = 15 см$.

__
Диаметр пятна $d_D = \lambda R/D$. 0.10
Учет аберрации в зеркале (лучи собираются не в точку, а в пятно не нулевого размера) 0.20
Вычисления радиуса пятна из геометрии
$r = R \mathrm{tg} {2\varphi} \left(\cos \varphi - \frac{1}{2}\right) - R\sin \varphi$
0.20
Результат для радиуса пятна
$$r_A \approx \frac{1}{2} \varphi^{3} R = 1/2 (D/2R)^3 R = \frac{D^3}{16R^2}.$$
0.20
Результат для $D_1 = 1 см$:
$$d_D = \frac{\lambda R}{D} = 80 мкм$$
0.20
Указание, что для $D_2 = 15 см$ основной вклад имеет аберрация. 0.20
Результат для $D_2 = 15 см$:
$$d_A = \frac{D^3}{8R^2} = 0.42 мм$$
0.20
D3  0.80 Для этих двух диаметров зеркал ($D_1 = 1 см$, $D_2 = 15 см$) оцените интенсивность в фокусе.

__
Для дифракции:
$$I =I_0 \frac{D^4}{\lambda^2 R^2} .$$
0.10
Для дифракции ($D_1 = 1 см$):
$$I =15625 I_0.$$
0.10
Для дифракции ($D_2 = 15 см$):
$$I \approx 791\cdot10^6 I_0.$$
0.10
Указано, что необходимо использовать волновые свойства для оценки интенсивности в случае аберрации ($D_2 = 15 см$). Например, что использование только геом оптики приводит к бесконечности:
$$I = \frac{I_0 \pi (2 r R^2)^{2/3}}{4 \pi r^2} = I_0 \frac{2^{2/3}R^{4/3}}{4r^{4/3}}.$$
0.50
D4  0.70 Как найденные в прошлом пункте интенсивности в фокусе зависят от длины волны $\lambda$?

__
Для зеркала $D_1 = 1 см$ (случай дифракции)
$$I \sim \lambda^{-2}$$
0.30
Приведены рассуждения для случая сферической аберрации (зеркало $D_2 = 15 см$), например: мы пренебрегаем волновыми эффектами, остаются только свойства геометрической оптики. Поэтому, интенсивность в центре от длины волны зависеть не будет. 0.40
E1  1.00 Определите интенсивность нулевого максимума $I_0$. Выразите ответ в общем виде через $d$ и $a$. Укажите ответ для $d=3a$.

__
$$E_0=\frac{a}{d} E_S$$ 0.40
$$I_0=\left( \frac{a}{d} \right)^2 I_S$$ 0.40
$$I_0=\frac{1}{9} I_S$$ 0.20
E2  1.00 Определите интенсивность $I_h$ максимума с номером $h$. Выразите ответ в общем виде через $d$ и $a$. Укажите ответ для $d=3a$.

__
$$\sin⁡φ=hλ/d.$$ 0.10
$$E_h=\frac{E_0}{a} ∫_0^a e^{(-i 2π/λ x \sin⁡φ )} dx$$ (этот пункт ставится, если есть зависимость поля для щели $E\sim \mathrm{sinc}(πha/d)$ ) 0.40
$$E_h \sim E_S \frac{\sin⁡(πha/d)}{πh}$$ (в этом пункте важна связь именно с полем плоской волны ДО решетки $E_S$) 0.30
$$I_h=E_h^2=I_S \left( \frac{ \sin⁡(πh a/d)}{ πh} \right)^2$$ (этот пункт ставится, если есть понимание $I=E^2$) 0.10
$$I_h=E_h^2=I_S \left( \frac{ \sin⁡(πh/3)}{ πh} \right)^2$$ 0.10
E3  1.00 Какая доля энергии $\beta$ попадает во все максимумы на экране, кроме нулевого $(h≠0)$? Вычислите ответ для $d=3a$.

__
Приведено решение 0.40
$$β=\frac{a(d-a)}{d^2} $$ 0.40
$$β=\frac{2}{9}$$ 0.20
E4  1.00 Какая доля энергии $\gamma$ поглощается не пропускающей частью дифракционной решеткой? Вычислите ответ для $d=3a$.

__
$$γ=\frac{d-a}{d}.$$ 0.80
$$γ=\frac{2}{3}.$$ 0.20