Logo
Logo

Наполовину пустая бутылка

Когда мы толкаем наполовину пустую бутылку с водой по плоскости, колебания жидкости внутри нее вызывают резкое дерганное движение системы. В данной задаче мы изучим данный процесс и построим теорию, объясняющую данное явление. Для первичного ознакомления приведем результаты эксперимента, в котором мы толкнем бутылку с водой, и посмотрим, как зависит ее положение от времени. Во всех экспериментах в течение задачи будет использоваться одна и таже бутылка, поэтому ее параметры данные в одной части можно использовать в другой.
Часть А. Кинематика воды в бутылке
В первую очередь рассмотрим, как вода бултыхается внутри цилиндрического сосуда. Для экспериментального изучечния закрепим бутылку радиуса $R=5.0 \text{см}$ на горизотальной оси и путем небольших поступательных колебаний оси создадим колебания уровня воды, а затем подождем, пока система не перейдет в некоторое достаточно устойчивое стационарное состояние колебаний жидкости внутри сосуда.

Чтобы измерить скорость потока жидкости, наполним ее полистроловыми шариками (плотность $1.06 \text{г}/\text{см}^3$, диаметр $0.7 \text{мм}$) и сфотографируем стационарное состояние системы камерой с выдержкой (выдержка -- интервал времени, в течение которого свет попадает на участок светочувствительного материала или светочувствительной матрицы) $T_\text{e}=1/10 \text{с}$, это время меньше полупериода колебаний воды в сосуде.
Момент импульса воды относительно оси бутылки связан с угловой скоростью поворота плоскости воды $\dot{\theta}$ и характеристиками системы через некоторый безразмерный коэффициент $\alpha$:

\[ L_\text{w} = \alpha \cdot \pi \rho R^4 L \dot{\theta}, \]
где $\rho$ -- плотность воды, $R$ -- радиус бутылки, $L$ -- ее длина.
A1  0.20 Чему равно теоретическое значение $\alpha_\text{solid}$, если заменить воду на твердое тело постоянной плотности совпадающей с плотностью воды?
A2  4.50 Определите коэффициент $\alpha$ в проведенном эксперименте. Точки, в которой Вы измеряете скорость задавайте парой чисел в полярных координат с центром в оси бутылки $r, \varphi$.
A3  0.50 Постройте график характеризующий Ваши измерения в координатах $r/R$ vs $\varphi/\pi$.
A4  0.20 Сравните полученный $\alpha$ с теоретической оценкой:
\[ \alpha_\text{theory} = \frac{4}{\pi^2} - \frac{1}{4}, \]
полученной в XIX веке лордом Рэлейем.
Теперь будем измерять, как угол $\theta$ зависит от времени при стационарных колебаниях. Далее применим преобразование Фурье к полученой зависимости $\theta(t)$, т.е. получим спектральную характеристику свободных колебаний жидкости внутри бутылки. Расстояние от центра масс полуцилиндра до его оси обозначьте за $a$.
A5  0.30 По данным представленным на риснуке оцените собтсвенную частоту колебаний системы $\omega_0$ и ее добротность $1/\zeta$.
A6  0.70 Оцените $\alpha$ из спектральной характеристики колебаний.
Часть B. Динамика системы
В прошлой части мы пришли к тому, что колебания воды в бутылки с допустимой точностью можно аппроксимировать колебаниями твердого тела полуцилиндрической формы с моментом инерции $I_0 = \alpha \cdot \pi \rho R^4 L$ и массой $m=\dfrac{\pi}{2} \rho R^2 L$ вокруг его оси. Таким образом бутылку с водой можно представить, как систему из колец суммарной массы $M$ и соосного им полуцилиндра. Причем кольца массы $M$ катятся без проскальзывания по плоскости, а полуцилиндр подвешен за ось колец и не взаимодействует с плоскостью.
Вся система может двигаться вдоль горизонтальной оси $x$ перпендикулярной оси вращения системы. Параметрами нашей системы будет пара переменных $x$ и $\theta$, поэтому все уравнения в ответах пишите в терминах этих переменных и их производных по времени, например $\ddot{x}$.
B1  0.30 Запишите II закон Ньютона для всей системы системы и уравнение вращательного движения для колец.
B2  0.20 Получите из уравнений предыдущего пункта уравнение, в котором есть только константы, параметры нашей системы и их производные.
B3  0.30 Запишите уравнение динамики вращательного движения для полуцилиндра, как дифференциальное уравнение второго порядка.
B4  0.50 Найдите угловую частоту колебаний системы $\Omega$. Запишите решений полученной системы из двух уравнений, которое описывает то, как бутыка катиться рывками по плоскости.
Для подтверждения данной теории проведем следующий эксперимент. Разгоним поступательно систему до скорости $v_0$ и столкнем ее со стенкой. В нашем случае масса воды $m=2.780 \text{кг}$, $M=0.910 \text{кг}$, $L=70 \text{см}$.

Так как масса воды в несколько раз больше массы бутылки, будем считать, что $\eta$ кинетической энергии перед ударом переходит в энергию колебаний, а остальная рассеивается. Ниже представлена схема, как это происходит.
B5  0.30 Пусть амплитуда колебаний скорости бутылки $\gamma v_0$ после отскока от стенки. Выразите $\gamma$ через известные велечины и $\eta$.
Далее приведены результаты измерения $\dot{x}/v_0$ vs $t$.
$t,~\text{с}$$\dot{x}/v_0$$t,~\text{с}$$\dot{x}/v_0$$t,~\text{с}$$\dot{x}/v_0$
-0.75-0.960.550.421.420.41
-0.66-0.980.580.261.470.23
-0.53-0.960.610.101.510.08
-0.41-0.960.630.031.55-0.09
-0.31-0.960.640.041.600.00
-0.19-0.970.700.201.650.29
-0.18-0.510.730.341.670.42
-0.140.000.760.471.710.45
-0.080.010.780.521.740.38
-0.020.010.830.501.790.14
0.040.070.900.251.840.00
0.070.190.920.041.86-0.03
0.080.310.95-0.071.920.07
0.130.440.96-0.051.930.22
0.170.571.020.131.960.37
0.230.471.050.262.030.52
0.260.341.070.412.060.43
0.280.181.100.412.080.30
0.310.081.160.222.150.06
0.330.051.21-0.042.180.02
0.360.131.24-0.122.180.21
0.390.331.310.092.180.03
0.430.501.340.262.270.36
0.490.591.370.372.310.51
0.500.571.400.41--
B6  1.50 Постройте график $\dot{x}/v_0$ vs $t$.
B7  0.20 Найдите экспериментальное значение $\Omega$, сравните его с теоретически.
B8  0.30 Найдите значение $\eta$.