Pho.rs: Наполовину пустая бутылка

A1 ^0.20 Чему равно теоретическое значение $\alpha_\text{solid}$, если заменить воду на твердое тело постоянной плотности совпадающей с плотностью воды?

1 $\alpha_{theor} = 1/4$

0.20

A2 ^4.50 Определите коэффициент $\alpha$ в проведенном эксперименте. Точки, в которой Вы измеряете скорость задавайте парой чисел в полярных координат с центром в оси бутылки $r, \varphi$.

1 Коэффициент $\alpha$ выражен через интеграл $$ L = \pi \rho L R^2 \dot \theta \int \frac{r^2}{R^2} \frac{v_{\tau}}{v_0} \: d \left( \frac{r}{R} \right) \: d \left( \frac{\varphi}{\pi} \right) $$	0.30
2 $\alpha$ определяется с помощью усреднения по плоскости $\left(\dfrac{r}{R}, \dfrac{\varphi}{\pi} \right)$: $$ \alpha = \left\langle \frac{r^2}{R^2} \cdot \frac{v_{\tau}}{v_0} \right\rangle $$	0.70
3 В усреднении используется более трёх точек при $\dfrac{r}{R} < 0.15$	0.30
4 Измерения $v_\tau$ и $r$	30 × 0.07
6 Ответ попадает в широкие ворота $$ \alpha = 0.05 \div 0.4$$	0.50
7 Ответ попадает в узкие ворота $$ \alpha = 0.15 \div 0.22 $$	0.60

A3 ^0.50 Постройте график характеризующий Ваши измерения в координатах $r/R$ vs $\varphi/\pi$.

1 На равномерно график нанесено $> 20$ точек (или все точки, которые используются в пункте A2)

0.50

A4 ^0.20 Сравните полученный $\alpha$ с теоретической оценкой:
\[ \alpha_\text{theory} = \frac{4}{\pi^2} - \frac{1}{4}, \]
полученной в XIX веке лордом Рэлейем.

1 Вычислено $\alpha_{theory} \approx 0.155$	0.10
2 Сравнение полученного $\alpha$ с теоретическим $\alpha_{theory}$	0.10

A5 ^0.30 По данным представленным на риснуке оцените собтсвенную частоту колебаний системы $\omega_0$ и ее добротность $1/\zeta$.

1 Собственная частота системы $\nu_0 = 2.6\div2.8~Гц$ или угловая частота $\omega_0 = 16.3\div17.5~с^{-1}$	0.10
2 Добротность $1/\zeta >5$ . Добротность должна быть найдена через ширину пика на высоте по формуле $\tfrac{1}{\zeta} = \frac{\omega_0}{\Delta \omega}$ на графике спектральной характеристики колебаний или по убыванию амплитуды по формуле $\tfrac{1}{\zeta} = \tfrac{N \pi}{\ln \frac{A_0}{A_N}}$, где $N \: -$ число периодов, для которых измеряются $A_0$ и $A_N$ на графике $\theta (t)$	0.20

A6 ^0.70 Оцените $\alpha$ из спектральной характеристики колебаний.

1 Угловая частота колебаний физического маятника $\omega_0^2 = mga/I$	0.10
2 Расстояние от центра масс до точки подвеса $a = \frac{4}{3\pi}R$	0.20
3 $\alpha = \frac{2g}{3R \pi \omega_0^2}$	0.20
4 $\alpha = 0.135 \div 0.160$	0.10

B1 ^0.30 Запишите II закон Ньютона для всей системы системы и уравнение вращательного движения для колец.

1 Второй закон Ньютона для всей системы $$M \ddot{x} + m \ddot{x} + ma \ddot{\theta} = F$$	0.15
2 Вращательный закон движения для всей системы или аналогичный ему: $$ MR \; \ddot x = - FR $$	0.15
3 Если в решении используется момент инерции для диска, а не кольца, то здесь ставится штраф, а дальнейшие пункты оцениваются исходя написанного момента инерции (кроме численных ответов)	-0.10

B2 ^0.20 Получите из уравнений предыдущего пункта уравнение, в котором есть только константы, параметры нашей системы и их производные.

1 $ 2M \ddot{x} +m (\ddot{x} + a \ddot{\theta} ) = 0$

0.20

B3 ^0.30 Запишите уравнение динамики вращательного движения для полуцилиндра, как дифференциальное уравнение второго порядка.

1 Уравнение моментов для полуцилиндра
$I_{0} \ddot{\theta} = -mga \theta - ma \ddot{x}$

0.30

B4 ^0.50 Найдите угловую частоту колебаний системы $\Omega$. Запишите решений полученной системы из двух уравнений, которое описывает то, как бутыка катиться рывками по плоскости.

1 Из пунктов B2 и B3 получено уравнение $$ \left( I_0 - \frac{m}{2M+m} ma^2 \right) \ddot \theta = -mga \theta, $$ откуда частота: $$ \Omega^2 = \frac{g}{a} \left[ \frac{I}{ma^2} - \frac{m}{2M + m} \right]^{-1} $$	0.20
2 Получено решение системы: $$ \theta (t) = A \sin {(\Omega t + \varphi_0)} \\ $$	0.15
3 $$ x(t) = - \frac{ma}{2M+m} A\sin {(\Omega t + \varphi_0)} + Bt $$	0.15

B5 ^0.30 Пусть амплитуда колебаний скорости бутылки $\gamma v_0$ после отскока от стенки. Выразите $\gamma$ через известные велечины и $\eta$.

1 Верно записано соотношение между кинетическими энергиями $$ \eta \frac{(2M+m)v^2}{2}=\frac{I_0 {\dot \theta }^2}{2} $$	0.20
2 $$ \gamma = \frac{3 \pi}{4} \sqrt{\frac{\eta m}{2 \alpha (2M+m)}} $$	0.10

B6 ^1.50 Постройте график $\dot{x}/v_0$ vs $t$.

1 На график нанесены точки

50 × 0.03

B7 ^0.20 Найдите экспериментальное значение $\Omega$, сравните его с теоретически.

1 Экспериментальное значение $\Omega$ $$ \Omega = 19 \div 21~c^{-1} $$	0.10
2 Теоретическое значение $$ \Omega = 19.8~c^{-1} $$	0.10

B8 ^0.30 Найдите значение $\eta$.

1 Из графика найдена $$\gamma = 0,25 (\pm 0,05) $$	0.10
2 Проведена численная оценка $$\eta \sim \gamma^2 $$	0.10
3 Значение $\eta$ вычислено по верной формуле и попадает в ворота $$ \eta = 0.15 \div 0.25 $$	0.10

Наполовину пустая бутылка

Разбалловка