Константы и некоторые свойства веществ

Постоянная Авогадро $N_A = 6,022\,140\,76\times 10^{23}~ моль^{-1}$

Постоянная Больцмана $k=1,380\,649 \times 10^{-23}~Дж/К$

Скорость света в вакууме $c = 299\,792\,458~ м/с$

Заряд электрона $q_e = - 1,602\,176\,634 \times 10^{−19}~Кл$

Масса электрона $m_e = 9,109\,383\,701\,5(28) \times 10^{-31} ~кг$

Молярная масса Refrigerant-10 $\mu_{R10} = 153,8~г/моль$

Плотность Refrigerant-10 (в жидком состоянии) $\rho_{R10} = 1,59~г/см^3$

Молярная масса воды $\mu_{w} = 18,02~г/моль$

Плотность воды (в жидком состоянии) $\rho_{w} = 1.00~г/см^3$

Диэлектрическая проницаемость воды (в жидком состоянии) $\varepsilon_{w} = 81$

Плотность ртути $\rho_{Hg} = 13,6~г/см^3$

Ускорение свободного падения $g = 9,81~м/с^2$

A. Проводящие шарики

A1  ^0.30 Одна из моделей диэлектриков состоит в следующем: большое количество маленьких проводящих шариков радиусом $R$ заполняют пространство с концентрацией $n$, так, что $R^3 n \ll 1$. Определите, на сколько диэлектрическая проницаемость $\varepsilon$ отличается от единицы.

B. Поле поляризованного шара

B1  ^0.30 Уединённый диэлектрический шар радиуса $R$ поляризован так, что внутри него напряженность электрического поля однородна и равна $\vec{E}_{in}$. Определите напряженность электрического поля$ \vec{E}_{out} (\vec{r} )$, которое создаёт шар снаружи в точке $\vec{r}$. Радиус-вектор $\vec{r}$ проводится из центра шара.

B2  ^1.00 Во внешнее однородное электрическое поле $\vec{E}_0$ поместили диэлектрический шар радиуса $R$. Напряженность электрического поля внутри шара стала равна $\vec{E}_0/n$. Определите диэлектрическую проницаемость материала шара $\varepsilon$.

B3  ^0.30 Если поместить неполярную частицу (например атом вещества) в электрическое поле $\vec{E'}$, то она приобретёт дипольный момент $\vec{p}$. Для малых полей эта зависимость линейная:
$$ \vec{p}= \beta \varepsilon_0 \vec{E'}.$$
Коэффициент $\beta$ называется «поляризуемость». Укажите поляризуемость $\beta$ для проводящего шара.

С. Диэлектрическая проницаемость неполярных газообразных веществ

C1  ^0.50 Если поместить атом водорода (который сам по себе не обладает дипольным моментом) в переменное электрическое поле $E(t)=E_0 \cos (⁡\omega t)$, то он поляризуется в основном за счёт того, что электрон массой $m_e$ и зарядом $q_e$ смещается под действием вынуждающей силы внешнего поля. То есть электрон совершает колебания возле положения равновесия (ядро атома). Определите, как зависит положение центра облака электрона от времени $x(t)$, если собственная частота таких колебаний электрона $\omega_0$?

C2  ^0.30 Если поместить указанный атом водорода в постоянное электрическое поле $E_0$, то он будет поляризоваться. Величина поляризации будет определяться собственной частотой колебаний $\omega_0$, которую можно оценить из следующих соображений: это частота электромагнитной волны, которая при поглощении атомом водорода ионизует его из основного состояния. Известно, что длина волны этого излучения $\lambda=91.1~нм$. Оцените поляризуемость $\beta$ атома водорода.

C3  ^0.30 Определите на сколько диэлектрическая проницаемость газообразного водорода отличается от единицы при атмосферном давлении и температуре $t=0^{\circ}\mathrm{C}$. Используйте значение поляризуемость атома водорода из предыдущего пункта. Для разряженных газов можно считать, что поле в веществе $E$ и поле которое действует на одну молекулу $E'$ совпадают.

D. Диэлектрическая проницаемость неполярных жидкостей

Для того, чтобы определить диэлектрическую проницаемость жидкостей, считать, что напряженности $\vec{E}$ и $\vec{E}'$ (см. C3) совпадают уже нельзя.
Чтобы вычислить $\vec{E}'$, можно считать, что молекула находится внутри полой пустой (без вещества) сферы в материале диэлектрика. Чтобы найти поле внутри этой сферы, создаваемое внешними зарядами, считаем, что эти внешние заряды распределены в веществе непрерывно.

D1  ^0.50 Внутри сплошного однородного диэлектрика напряженность электрического поля равна $\vec{E}$, вектор поляризаций равен $\vec{P}$. Внутри диэлектрика вырезали сферическую полость. Определите напряженность электрического поля в веществе $\vec{E_h}$.

D2  ^1.00 Используя указанную выше модель найдите, на сколько диэлектрическая проницаемость жидкости $\varepsilon$ отличается от единицы. Концентрация молекул $n$, поляризуемость $\beta$.

D3  ^0.50 Вещество Refrigerant-10 в газообразном виде имеет диэлектрическую проницаемость $\varepsilon_g=1.0030$ при температуре $t_g=105^{\circ}\textrm{C}$ и атмосферном давлении. Определите диэлектрическую проницаемость $\varepsilon_l$ данного вещества в жидком виде.

D4  ^0.50 Для воды при температуре $t_1=145^{\circ}\textrm{C}$ и атмосферном давлении диэлектрическая проницаемость равна $\varepsilon_1=1.00705$. Оцените диэлектрическую проницаемость воды $\varepsilon_2$ при температуре $t_2=20^{\circ}\textrm{C}$. Сравните результат полученный из этой модели с реальным значением диэлектрической проницаемости воды. Если он не сходится, укажите возможную причину.

E. Диэлектрическая проницаемость полярных веществ

Для полярных диэлектриков ситуация сложнее. Молекулы сами по себе обладают дипольным моментом $p_0$. В отсутствии электрического поля эти молекулы-диполи ориентированы хаотически. При помещении этого вещества в электрическое поле появляется поляризация из-за неравномерной ориентации диполей. Кроме того, остаётся эффект того, что помимо собственного дипольного момента, появляется наведённый. Вклад этих двух эффектов в диэлектрическую проницаемость линейно складывается.

E1  ^1.00 Определите разницу $\varepsilon-1$ для такого вещества с концентрацией молекул $n$ при температуре $T$.
Можно считать, что температура достаточно велика, а напряженность электрического поля не велика. Наведённый дипольный момент не учитывайте.

E2  ^1.00 По имеющимся данным таблицы определите дипольный момент молекулы $p_0$ и поляризуемость $\beta$ для воды. В таблице указана зависимость диэлектрической проницаемости воды от её температуры $T$ и давления $p$.