A1  ^0.30 Одна из моделей диэлектриков состоит в следующем: большое количество маленьких проводящих шариков радиусом $R$ заполняют пространство с концентрацией $n$, так, что $R^3 n \ll 1$. Определите, на сколько диэлектрическая проницаемость $\varepsilon$ отличается от единицы.

A1. 1 $$\vec{E} = -\frac{ \rho \vec{l} }{ 3 \varepsilon_0} = -\frac{ \vec{p} }{ 4 \pi R^3 \varepsilon_0} .$$	0.10
A1. 2 $$\varepsilon - 1 = \frac{P}{\varepsilon_0 E} = \frac{pn}{\varepsilon_0 E}$$	0.10
A1. 3 $$\varepsilon - 1 = 4\pi n R^3.$$	0.10

B1  ^0.30 Уединённый диэлектрический шар радиуса $R$ поляризован так, что внутри него напряженность электрического поля однородна и равна $\vec{E}_{in}$. Определите напряженность электрического поля$ \vec{E}_{out} (\vec{r} )$, которое создаёт шар снаружи в точке $\vec{r}$. Радиус-вектор $\vec{r}$ проводится из центра шара.

B1. 1 $$\vec{p} = -4\pi \varepsilon_0 R^3 \vec{E}_{in}.$$	0.10
B1. 3 $$\vec{E}_{out} = -R^3 \left( \frac{3(\vec{E}_{in}, \vec{r})\vec{r}}{r^5} - \frac{\vec{E}_{in}}{r^3}\right)$$	0.20

B2  ^1.00 Во внешнее однородное электрическое поле $\vec{E}_0$ поместили диэлектрический шар радиуса $R$. Напряженность электрического поля внутри шара стала равна $\vec{E}_0/n$. Определите диэлектрическую проницаемость материала шара $\varepsilon$.

B2. 2 $$\vec{E}_{пол} = -\frac{\vec{P}}{3\varepsilon_0}.$$	0.20
B2. 3 $$\vec{E_1} = \frac{\vec{E}_0}{n} = \vec{E}_0 + \vec{E}_{пол}$$	0.20
B2. 4 $$\varepsilon \vec{E_1} = \vec{E_1} + \frac{\vec{P}}{\varepsilon_0}.$$	0.20
B2. 5 $$\varepsilon = 3n-2.$$	0.40

B3  ^0.30 Если поместить неполярную частицу (например атом вещества) в электрическое поле $\vec{E'}$, то она приобретёт дипольный момент $\vec{p}$. Для малых полей эта зависимость линейная:
$$ \vec{p}= \beta \varepsilon_0 \vec{E'}.$$
Коэффициент $\beta$ называется «поляризуемость». Укажите поляризуемость $\beta$ для проводящего шара.

B3. 1 $$\beta = 4\pi R^3.$$

0.30

C1  ^0.50 Если поместить атом водорода (который сам по себе не обладает дипольным моментом) в переменное электрическое поле $E(t)=E_0 \cos (⁡\omega t)$, то он поляризуется в основном за счёт того, что электрон массой $m_e$ и зарядом $q_e$ смещается под действием вынуждающей силы внешнего поля. То есть электрон совершает колебания возле положения равновесия (ядро атома). Определите, как зависит положение центра облака электрона от времени $x(t)$, если собственная частота таких колебаний электрона $\omega_0$?

C1. 1 Возвращающая сила $F(x) = - m \omega_0^2 x$.	0.10
C1. 2 Уравнение вынужденных колебаний $$m \ddot{x}+ F(x) = q_e E_0 \cos(\omega t)$$	0.10
C1. 3 $$x(t) = \frac{q_e E_0}{m(\omega^2_0 - \omega^2)} \cos (\omega t ).$$ (ставится, если правильная амплитуда)	0.20
C1. 4 в выражении выше правильная фаза	0.10

C2  ^0.30 Если поместить указанный атом водорода в постоянное электрическое поле $E_0$, то он будет поляризоваться. Величина поляризации будет определяться собственной частотой колебаний $\omega_0$, которую можно оценить из следующих соображений: это частота электромагнитной волны, которая при поглощении атомом водорода ионизует его из основного состояния. Известно, что длина волны этого излучения $\lambda=91.1~нм$. Оцените поляризуемость $\beta$ атома водорода.

C2. 1 $$\omega_0 = \frac{2\pi c}{\lambda}.$$	0.10
C2. 2 $$\beta = \frac{q_e^2}{m \varepsilon_0} \cdot \left( \frac{\lambda}{2\pi c} \right)^2$$	0.10
C2. 3 $$\beta = 7.4\cdot10^{-30}~м^3.$$	0.10

C3  ^0.30 Определите на сколько диэлектрическая проницаемость газообразного водорода отличается от единицы при атмосферном давлении и температуре $t=0^{\circ}\mathrm{C}$. Используйте значение поляризуемость атома водорода из предыдущего пункта. Для разряженных газов можно считать, что поле в веществе $E$ и поле которое действует на одну молекулу $E'$ совпадают.

C3. 1 $$p_A = nkT$$	0.10
C3. 2 $$\varepsilon -1 = \frac{\beta p_A}{k T} $$	0.10
C3. 3 $$\varepsilon -1 = 2.0\cdot 10^{-4}.$$	0.10

D1  ^0.50 Внутри сплошного однородного диэлектрика напряженность электрического поля равна $\vec{E}$, вектор поляризаций равен $\vec{P}$. Внутри диэлектрика вырезали сферическую полость. Определите напряженность электрического поля в веществе $\vec{E_h}$.

D1. 1 Поле в полости = суперпозиция	0.20
D1. 2 $$\vec{E}_h = \vec{E} + \frac{\vec{P}}{3 \varepsilon_0}.$$	0.30

D2  ^1.00 Используя указанную выше модель найдите, на сколько диэлектрическая проницаемость жидкости $\varepsilon$ отличается от единицы. Концентрация молекул $n$, поляризуемость $\beta$.

D2. 1 $$P = pn = \beta \varepsilon_0 n E_h.$$	0.20
D2. 2 $$\vec{E}_h = \vec{E} + \frac{\vec{P}}{3 \varepsilon_0}.$$	0.20
D2. 3 $$\varepsilon -1 = \frac{P}{\varepsilon_0 E}.$$	0.10
D2. 4 $$\varepsilon - 1 = \frac{\beta n}{1- \beta n / 3}.$$	0.50

D3  ^0.50 Вещество Refrigerant-10 в газообразном виде имеет диэлектрическую проницаемость $\varepsilon_g=1.0030$ при температуре $t_g=105^{\circ}\textrm{C}$ и атмосферном давлении. Определите диэлектрическую проницаемость $\varepsilon_l$ данного вещества в жидком виде.

D3. 1 $$\varepsilon_g - 1 = \beta n_g.$$	0.10
D3. 2 $$\varepsilon_l - 1 = \frac{\beta n_l}{1 - \beta n_l/3}.$$	0.10
D3. 3 $$\frac{\beta n_l}{\beta n_g} = \frac{\rho_{R10}}{\rho_{g}} = \frac{\rho_{ R10} RT}{p_A \mu_{R10}}.$$	0.10
D3. 4 $$\varepsilon_l =1+ \left( \frac{ p_A \mu_{R10}}{ (\varepsilon_g - 1) \rho_{R10} RT } - \frac{1}{3} \right)^{-1}$$	0.10
D3. 5 $$\varepsilon_l = 2.44$$	0.10

D4  ^0.50 Для воды при температуре $t_1=145^{\circ}\textrm{C}$ и атмосферном давлении диэлектрическая проницаемость равна $\varepsilon_1=1.00705$. Оцените диэлектрическую проницаемость воды $\varepsilon_2$ при температуре $t_2=20^{\circ}\textrm{C}$. Сравните результат полученный из этой модели с реальным значением диэлектрической проницаемости воды. Если он не сходится, укажите возможную причину.

D4. 1 При температуре $t_1 = 145 ^{\circ}\mathrm{C}$ и атмосферном давлении вода находится в газообразном состоянии. Поэтому $$\varepsilon_1 - 1 = \beta n_1.$$ При $t_2 = 20 ^{\circ}\mathrm{C}$ вода жидкая: $$\varepsilon_2- 1 = \frac{\beta n_2}{1 - \beta n_2/3}.$$	0.10
D4. 2 $$\varepsilon_2 =1+ \left( \frac{ p_A \mu_w}{ (\varepsilon_1 - 1) \rho_w RT_1 } - \frac{1}{3} \right)^{-1}$$	0.10
D4. 3 $$\varepsilon_2 = -2.84.$$	0.10
D4. 4 Теория не совпадает с реальностью, потому, что не применима: молекула воды полярная, а теория для неполярных веществ из неполярных атомов/молекул.	0.20

E1  ^1.00 Определите разницу $\varepsilon-1$ для такого вещества с концентрацией молекул $n$ при температуре $T$.
Можно считать, что температура достаточно велика, а напряженность электрического поля не велика. Наведённый дипольный момент не учитывайте.

E1. 1 $$U = - (\vec{p_0}, \vec{E}) = - p_0 E \cos \theta,$$	0.10
E1. 2 $$w(\theta) = A e^{-U/kT} = A \exp \left( \frac{p_0 E \cos \theta}{kT} \right) $$	0.10
E1. 4 связь A и концетрации	0.10
E1. 5 $$P \sim \int_{4\pi} (p_0 \cos \theta) \cdot w(\theta) d \Omega.$$	0.30
E1. 6 $$P \sim \int_0^\pi (p_0 \cos \theta) \cdot w(\theta) \cdot (2\pi \sin \theta d \theta).$$	0.10
E1. 7 $$\varepsilon-1 = \frac{n p_0^2}{3 \varepsilon_0 k T}$$	0.30

E2  ^1.00 По имеющимся данным таблицы определите дипольный момент молекулы $p_0$ и поляризуемость $\beta$ для воды. В таблице указана зависимость диэлектрической проницаемости воды от её температуры $T$ и давления $p$.

E2. 1 $$\frac{d(\varepsilon-1)}{d(1/T)} = \frac{n p_0^2}{3 \varepsilon_0 k} $$	0.20
E2. 2 $$(\varepsilon-1)_0 = \frac{\beta n}{1- \beta n / 3} $$	0.20
E2. 3 $$\frac{d(\varepsilon-1)}{d(1/T)} = \frac{n p_0^2}{3 \varepsilon_0 k} = 1.5052~К^{-1},$$	0.10
E2. 4 $$(\varepsilon-1)_0 = \frac{\beta n}{1- \beta n / 3} = 16.666\cdot10^{-5}.$$	0.10
E2. 5 $$p_0 = 6.3 \cdot 10^{-30}~Кл \cdot м,$$	0.20
E2. 6 $$\beta = 1.2\cdot 10^{-29}~м^3 .$$	0.20