Гравитационные силы возрастают с уменьшением расстояния между телами. Поэтому можно наблюдать, как при сильном сближении, например, жидких спутников и планет, обладающих сильным гравитационным полем, форма спутников начинает изменяться и они, в конце концов, разрушаются.

Пределом Роша называется минимально возможный радиус круговой орбиты спутника $R_{Roche}$, вращающегося вокруг планеты, при котором спутник ещё не разрушается под действием приливных сил, вызванных гравитационным полем планеты.

В данной задаче вам предстоит найти пределы Роша для двойной планетарной системы, а также для жидкого спутника.

Часть A. Предел Роша для двойной планетарной системы (1.5 балла)

Рассмотрим два одинаковых сферических объекта, масса и радиус каждого из которых равны $m$ и $r$ соответственно. Объекты как единое целое движутся в гравитационном поле звезды массой $M\gg{m}$ по круговым орбитам. Расстояние от точки контакта объектов до звезды обозначим за $R$.
Считайте, что $R\gg{r}$ и центры объектов всё время находятся на прямой, проходящей через центры звезды (т.е объекты всё время обращены одной стороной к звезде). Гравитационная постоянная равна $G$.

A1  ^1.50 Найдите значение радиуса круговой орбиты $R_\text{ДПС}$, при котором механическое напряжение в области контакта объектов равняется нулю.
Величина $R_\text{ДПС}$ является пределом Роша $R_{Roche}$ для двойной планетарной системы

Жидкий спутник

Все оставшиеся пункты задачи ведут к нахождению предела Роша для жидкого спутника. вращающегося вокруг собственной оси синхронно с орбитальным вращением (иными словами, спутник всегда обращён одной и той же стороной к планете.).

Радиус круговой орбиты спутника обозначим за $R$. Гравитационная постоянная $G$, радиус планеты $R_0$, плотность планеты $\rho_M$ и плотность жидкого спутника $\rho_m$ во всех пунктах задачи считаются известными.

Решение задачи проводится в системе отсчёта, вращающейся вокруг центра планеты с орбитальной угловой скоростью вращения спутника, а также в следующих предположениях:
1) центр планеты неподвижен;
2) влиянием всех сил, кроме центробежной, гравитации планеты и собственной гравитации спутника можно пренебречь;
3) жидкость несжимаема;
4) во вращающейся системе отсчёта жидкость неподвижна;
5) все линейные размеры спутника много меньше радиуса круговой орбиты $R$.
Также при решении задачи пользуйтесь системой координат, начало которой расположено в положении центра масс спутника, ось $x$ направлена вдоль линии, проведённой от планеты к спутнику, ось $z$ направлена вдоль вектора угловой скорости орбитального вращения, а ось $y$ дополняет тройку базисных векторов $\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z$ до правой.

Часть B. Потенциал внешних полей (1.5 балла)

Потенциалом будем называть потенциальную энергию единицы массы, т.е:
$$\varphi=\displaystyle\frac{W_p}{m}
$$
В данной части задачи необходимо приближенно описать суммарный потенциал $\varphi_{\text{внеш}}$ поля центробежной силы и гравитационного поля планеты вблизи равновесного положения спутника. Считайте, что в начале координат потенциал $\varphi_{\text{внеш}_0}=0$.

B1  ^0.70 Получите точное выражение для суммарного потенциала $\varphi_\text{внеш}$ в поле центробежной силы и гравитационного поля планеты. Ответ выразите через $x$, $y$, $z$, $G$, $\rho_M$, $R_0$ и $R$.

B2  ^0.80 В приближении $x,y,z\ll{R}$ выражение для потенциала $\varphi$ можно представить в следующем виде:
$$\varphi_{\text{внеш}}=A_1x^2+B_1y^2+C_1z^2
$$
Найдите коэффициенты $A_1$, $B_1$ и $C_1$. Ответы выразите через $R$, $G$, $R_0$ и $\rho_M$.

В дальнейшем считайте, что коэффициенты $B_1$ и $C_1$ равны нулю. Как показывают точные вычисления, их учёт даёт очень малое повышение точности, несравнимое с повышением сложности вычислений.
Таким образом, во всех дальнейших пунктах:
$$\varphi_{\text{внеш}}=A_1x^2
$$
Из вида потенциала становится понятно, что рассматриваемая нами фигура является фигурой вращения, а квадратичный вид зависимости потенциала даёт возможность угадать геометрическую фигуру.

Часть C. Гравитационное поле эллипсоида вращения (5.5 балла)

В данной части задачи вам предлагается ознакомиться с гравитационным полем внутри вытянутого эллипсоида вращения, заполненного по всему объёму веществом с плотностью $\rho$.
В декартовой системе координат $xyz$ эллипсоид вращения описывается уравнением:
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2+z^2}{b^2}\leq{1}\qquad a\geq{b}
$$
где $a$ и $b$ — соответственно большая и малая полуоси эллипса в любом сечении. содержащем начало координат.
Напомним, что фокусы эллипса находятся на расстоянии $2c=2\sqrt{a^2-b^2}$ друг от друга, а эксцентриситет эллипса равен $e=\cfrac{c}{a}$.

Рассмотрим вспомогательную задачу: В рассматриваемом эллипсоиде создали полость, заданную уравнением:
$$\frac{x^2}{k^2a^2}+\frac{y^2+z^2}{k^2b^2}\leq{1}\qquad k<1
$$

C1  ^0.80 Докажите, что гравитационное поле внутри полости равняется нулю.

Вернёмся к сплошному эллипсоиду.

C2  ^0.40 Пусть потенциал в центре эллипсоида равен $\varphi_0$.
Рассмотрим точку внутри эллипсоида, радиус-вектор относительно центра равен $\vec{r}$. Потенциал в данной точке равен $\varphi_1$.
Чему в также лежащей внутри эллипсоида точке с радиус-вектором $\gamma\vec{r}$ равен потенциал $\varphi_2=\varphi(\gamma\vec{r})$?
Ответ выразите через $\varphi_0$, $\varphi_1$ и $\gamma$.

C3  ^1.00 Покажите, что в точке эллипсоида с координатами $x,y,z$ потенциал можно представить в виде:
$$\varphi=\varphi_0+A_2x^2+B_2(y^2+z^2)
$$
$\textit{Примечание:}$ обратите внимание, что данное выражение применимо для эллипсоидов сколь угодно малых размеров

C4  ^0.30 Выразите $B_2$ через $A_2$, $G$ и $\rho$.
$\textit{Примечание:}~$ воспользуйтесь теоремой Гаусса в дифференциальной форме для гравитационного поля:
$$\displaystyle\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial{x}^2}+\displaystyle\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial{y}^2}+\displaystyle\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial{z}^2}=4\pi\rho G
$$

C5  ^0.30 Потенциал $\varphi$ на поверхности эллипсоида можно представить как функцию только координаты $x$ в следующем виде:
$$\varphi=C_2+x^2D_2
$$
Выразите $C_2$ и $D_2$ через $\varphi_0$, $A_2$, $G$, $\rho$, $a$, $x$ и эксцентриситет $e$.

Как видно, эллипсоид вращения может создать поле, удовлетворяющее условию эквипотенциальности поверхности жидкости. Для этого необходимо найти зависимость коэффициента $A_2$ от эксцентриситета $e$ эллипсоида.

C6  ^0.50 Решим вспомогательную задачу: по поверхности диска радиуса $R$ равномерно распределена масса с поверхностной плотностью $\sigma$.
Найдите потенциал диска $\varphi_\text{д}$ на оси на расстоянии $x$ от его центра.
Ответ выразите через $\sigma$, $G$, $R$ и $x$.

C7  ^1.00 Найдите потенциал $\varphi_0$ в центре эллипсоида. Ответ выразите через $G$, $\rho$, $a$ и $e$.
$\textit{Примечание:}$ вам может понадобиться следующий интеграл: $$\displaystyle\int\sqrt{1+x^2}dx=\cfrac{x\sqrt{1+x^2}+\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}{2}+C
$$

C8  ^1.00 Найдите потенциал эллипсоида $\varphi_a$ в точке с координатами $(x, y, z)=(a, 0, 0)$. Ответ выразите через $G$, $\rho$, $a$ и $e$.
$\textit{Примечание:}$ вам может понадобиться следующий интеграл: $$\displaystyle\int\sqrt{x^2-1}dx=\cfrac{x\sqrt{x^2-1}-\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)}{2}+C
$$

C9  ^0.20 Найдите коэффициент $A_2$. Ответ выразите через $G$, $\rho$ и $e$.

Часть D. Нахождение предела Роша (1.5 балла)

Для равновесия жидкого спутника его поверхность должна быть эквипотенциальна.
В предыдущей части задачи мы показали, что потенциал на поверхности однородного эллипсоида вращения можно представить как функцию только координаты $x$.

D1  ^0.70 Постройте на листе миллиметровой бумаги график зависимости коэффициента $D_2$ от эксцентриситета $e$ эллипсоида, образованного спутником.

D2  ^0.30 При каком значении эксцентриситета $e$ предел Роша достигается?

D3  ^0.50 Найдите предел Роша $R_{Roche}$. Ответ выразите через $R_0$, $\rho_M$ и $\rho_m$.