|
A1. 1
Записаны законы НЬютона для спутников (любые два из трёх):
$$ 2m\omega^2R=GMm\left(\displaystyle\frac{1}{(R-r)^2}+\displaystyle\frac{1}{(R+r)^2}\right) \\ m\omega^2(R-r)=\displaystyle\frac{GMm}{(R-r)^2}+N-\displaystyle\frac{Gm^2}{4r^2} \\ m\omega^2(R+r)=\displaystyle\frac{GMm}{(R+r)^2}-N+\displaystyle\frac{Gm^2}{4r^2} $$ |
2 × 0.40 |
|
|
A1. 2
Найдено искомое значение
$$R_{ДПС}=r\sqrt[3]{\displaystyle\frac{12M}{m}} $$ |
0.70 |
|
|
B1. 1
Используется подстановка
$$\omega=\sqrt{\cfrac{GM}{R^3}} $$ или указано, что первая производная потенциала равна нулю. |
0.20 |
|
|
B1. 2
Правильно учтён центробежный потенциал:
$$W_p=-\frac{m\omega^2r^2_{\perp}}{2} $$ |
0.20 |
|
| B1. 3 В выражении для потенциала в поле центробежной силы фигурирует $z^2$ | -0.10 |
|
|
B1. 4
Правильное выражение для потенциала
(ставится даже при наличии $z^2$ в потенциале центробежной силы) $$\varphi=\frac{2\pi R^3_0\rho_MG}{R}-\cfrac{4\pi R^3_0\rho_MG}{3R}\left(\cfrac{R}{\sqrt{(R+x)^2+y^2+z^2}}+\cfrac{(R+x)^2+y^2}{2R^2}\right) $$ |
0.30 |
|
|
B2. 1
Верное приближение
(Ставится даже без учёта последнего слагаемое) $$\cfrac{R}{\sqrt{(R+x)^2+y^2+z^2}}\approx{1-\frac{x}{R}-\frac{x^2+y^2+z^2}{2R^2}}+\frac{3x^2}{2R^2} $$ |
0.50 |
|
| B2. 2 Не учтено последнее слагаемое в разложении потенциальной энергии в поле тяжести планеты. | -0.20 |
|
|
B2. 3
Найдены коэффициенты
$$A=-\cfrac{2\pi R^3_0\rho_MG}{R^3} \quad B=0 \quad C=\cfrac{2\pi R^3_0\rho_MG}{3R^3} $$ |
3 × 0.10 |
|
| C1. 1 Идея воспользоваться равенством нулю поля внутри равномерно заряженной сферы. | 0.30 |
|
| C1. 2 Доказано, что элементы тонкой сферы, поля которых компенсируют друг друга, при сжатии сферы в эллипс деформируются так, что их поля после деформации также компенсируют друг друга. | 0.50 |
|
|
C2. 1
Из скейлинговых соображений получено, что $$ \varphi(\vec{r})-\varphi(0)\sim{r^2} $$ |
0.30 |
|
|
C2. 2
Верный ответ
$$\varphi_2=\varphi_0+(\varphi_1-\varphi_0)\gamma^2 $$ |
0.20 |
|
| C3. 1 M1 Используется идея разложения поля $g$ в окрестности нуля и нахождения угловой зависимости | 0.20 |
|
|
C3. 2
M1
Получено выражение (или аналогичное)
$$\frac{\partial g_r}{\partial r}=-2f(\alpha)=(\vec{e}_r\cdot{\vec{e}_x})\frac{\partial g_x}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+(\vec{e}_r\cdot{\vec{e}_y})\frac{\partial g_y}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r}+(\vec{e}_r\cdot{\vec{e}_z})\frac{\partial g_z}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial r} $$ |
0.50 |
|
| C3. 3 M1 Доказано, что $f(\alpha)$ линейно зависит от $\cos^2 \alpha$ | 0.20 |
|
| C3. 4 M1 Доказано итоговое утверждение | 0.10 |
|
|
C4. 1
Получен верный ответ
$$B_2=\pi G\rho-\frac{A_2}{2} $$ |
0.30 |
|
|
C5. 1
Верные выражения для $C_2$ и $D_2$:
$$C_2=\varphi_0+\left(\pi\rho G-\cfrac{A_2}{2}\right)a^2(1-e^2) \quad D_2=\cfrac{A_2(3-e^2)}{2}-\pi\rho G(1-e^2) $$ |
2 × 0.15 |
|
|
C6. 1
Выписан интеграл для $\varphi_\text{д}$:
$$\varphi_\text{д}=-\pi\sigma G\int\limits_0^R\frac{2rdr}{\sqrt{r^2+x^2}} $$ |
0.20 |
|
|
C6. 2
Верный ответ
$$\varphi=-2\pi\sigma G\left(\sqrt{R^2+x^2}-x\right) $$ |
0.30 |
|
| C6. 3 Потерян минус | -0.10 |
|
|
C7. 1
Используется разбиение на диске (или аналогичным способом получен следующий интеграл
$$\varphi_0=-2\pi\rho G\cdot{2\int\limits_{0}^a\left(\sqrt{x^2+r^2_{\perp}}-x\right)dx} $$ |
0.20 |
|
|
C7. 2
Верно вычислен тривиальный интеграл:
$$-\int\limits_0^a xdx=-\displaystyle\frac{a^2}{2} $$ |
0.10 |
|
|
C7. 3
Нетривиальный интеграл верно сведён к табличному:
$$\int\limits_{0}^a\sqrt{x^2+r^2_{\perp}}dx=\displaystyle\frac{ab^2}{c}\int\limits_0^{\frac{c}{b}}\sqrt{1+t^2}dt $$ |
0.30 |
|
|
C7. 4
Верное выражение для нетривиального интеграла:
$$\displaystyle\frac{ab^2}{c}\int\limits_0^{\frac{c}{b}}\sqrt{1+t^2}dt=\displaystyle\frac{a^2}{2}\left(1+\displaystyle\frac{1-e^2}{e}\ln\sqrt{\displaystyle\frac{1+e}{1-e}}\right) $$ или аналогичное ему. |
0.20 |
|
|
C7. 5
Верный ответ:
$$\varphi_0=-\frac{2\pi\rho Ga^2(1-e^2)}{e}\ln\sqrt{\cfrac{1+e}{1-e}} $$ |
0.20 |
|
|
C8. 1
Используется разбиение на диске (или аналогичным способом получен следующий интеграл
$$\varphi_a=-2\pi\rho G\int\limits_{-a}^{a}\left(\sqrt{(a+x)^2+r^2_{\perp}}-(x+a)\right)dx $$ |
0.20 |
|
|
C8. 2
Верно вычислено тривиальное слагаемое:
$$-\int\limits_{-a}^a(x+a)dx=-2a^2 $$ |
0.10 |
|
|
C8. 3
Нетривиальный интеграл сведён к табличному:
$$\int\limits_{-a}^{a}\sqrt{(a+x)^2+r^2_{\perp}}dx=\frac{ab^4}{c^3}\int\limits_{\frac{a^2-c^2}{b^2}}^{\frac{a^2+c^2}{b^2}}\sqrt{t^2-1}\: dt $$ |
0.30 |
|
|
C8. 4
Верное выражение для нетривиального интеграла:
$$\frac{ab^4}{c^3}\int\limits_{\frac{a^2-c^2}{b^2}}^{\frac{a^2+c^2}{b^2}}\sqrt{t^2-1}\: dt=a^2\left(\frac{(1+e^2)}{e^2}-\frac{(1-e^2)^2}{e^3}\ln\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\right) $$ или аналогичное ему. |
0.20 |
|
|
C8. 5
Верный ответ
$$\varphi_a=-2\pi\rho Ga^2\left(\frac{(1-e^2)}{e^2}-\frac{(1-e^2)^2}{e^3}\ln\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\right) $$ |
0.20 |
|
|
C9. 1
Верный ответ:
$$A_2=2\pi\rho G\left(\frac{1-e^2}{e^3}\ln\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}-\frac{(1-e^2)}{e^2}\right) $$ |
0.20 |
|
|
D1. 1
Выражение для $D_2 (e)$:
$$D_2=\pi\rho G~\frac{1-e^2}{e^3}\left((3-e^2)\ln\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}-3e\right) $$ |
0.20 |
|
|
D1. 2
Построение численной зависимости $D_2 (e)$
(Принимается построенный для своего $D_2$ график) |
0.50 |
|
| D2. 1 Нахождение максимально возможного $D_2$ графически | 0.10 |
|
|
D2. 2
$$e_{ext}=0,86\pm{0,02}
$$ |
0.20 |
|
|
D3. 1
$$D_{2_{ext}}\approx{0,14\pi\rho_m G}
$$ |
0.10 |
|
|
D3. 2
$$R_{Roche}\approx{2,43R_0\sqrt[3]{\frac{\rho_M}{\rho_m}}}
$$ |
0.40 |
|