1  ^3.00 Определите массу $m$ цепочки.

Измерим длину цепочки: $L = 1,0~м$.

Определим массу листа формата А4.

a) Измерим размеры листа: $a = 29,7~см$, $b = 21,0~см$.
b) Рассчитаем площадь листа: $S = ab = 624~см^2$.
c) Найдём массу листа: $m_л = \sigma S = 5,0~г$.

Определим массу цепочки.

a) Из листа изготовим рычаг. Уравновешивая рычаг на краю стола, найдём положение его центра тяжести.
b) Подвесим цепочку на край рычага и найдём положение центра тяжести системы.

Запишем правило моментов относительно точки опоры: $m_лgl_1 = mgl_2$, где $l_1$ и $l_2$ $-$ расстояния от центров тяжести рычага и цепочки до точки опоры.

d) Рассчитаем массу цепочки:

2  ^3.00 Подвесьте цепочку на двух зубочистках, закрепленных на крышке стола, так, чтобы точки подвеса находились на одном уровне. Снимите зависимость угла $\alpha$ между цепочкой у точек крепления и горизонтом от расстояния $l$ между точками подвеса (см. рисунок). Измерения проведите для диапазона значений $l$ от $0$ до $90$ $\text{см}$.

Закрепим с помощью клейкой массы на краю стола транспортир и зубочистки, которые будут играть роль точек крепления цепочки.

Начальный участок цепочки почти прямой, и это облегчает считывание показаний с транспортира. Измерим значения углов $\alpha$ не менее чем для 11 значений $l$. Шаг изменения параметра $l$ может быть постоянным, однако при малых значениях $l$ угол изменяется незначительно, и шаг в этом случае можно выбрать больше. При $l > 60~см$ угол изменяется быстрее, и лучше промерить данный участок более детально.

Результаты заносим в таблицу:

$l, см$; $\alpha, ^\circ$ 0; 90 10; 88 20; 86 30; 84 40; 81 50; 76 55; 73 60; 70 65; 67 70; 64 75; 60 80; 55 85; 48 90; 37

3  ^4.00 Постройте график (формат А5) зависимости горизонтальной составляющей $T_x$ силы натяжения цепочки в точке крепления от $l$.

В точке подвеса вертикальная составляющая силы натяжения равна $T_y = \dfrac{mg}{2}$, что следует из симметрии задачи и условия равновесия всей цепочки. Тогда, с учётом того, что сила натяжения направлена по касательной к цепочке, получим:
$$ T_x = \dfrac{mg}{2} \mathrm{ctg}(\alpha)$$

Дополняем таблицу измерений:

$l, см$; $\alpha, ^\circ$; $\mathrm{ctg}(\alpha)$; $T_x,~мН$ 0; 90; 0,00; 0,0 10; 88; 0,03; 1,6 20; 86; 0,07; 3,3 30; 84; 0,11; 4,9 40; 81; 0,16; 7,4 50; 76; 0,25; 12,0 55; 73; 0,31; 14,0 60; 70; 0,36; 17,0 65; 67; 0,42; 20,0 70; 64; 0,49; 23,0 75; 60; 0,58; 27,0 80; 55; 0,70 ; 33,0 85; 48; 0,90; 42,0 90; 37; 1,30; 62,0

По данным таблицы построим график $T_x(l)$:

4  ^3.00 Определите какую минимальную работу $A$ нужно совершить, чтобы увеличить расстояние между точками подвеса цепочки от $0$ до $50$ $\text{см}$.

Работа $A$ по увеличению расстояния между точками подвеса пропорциональна площади под графиком $T_x(l)$ в диапазоне от $l = 0~см$ до $l =50~см$.

5  ^2.00 Силу натяжения цепочки в нижней точке.

Зафиксируем расстояние между точками подвеса $l = 85~см$. Рассмотрим условие равновесия половины цепочки (см. рис). Из равенства нулю суммы проекций сил на горизонтальное направление, следует, что сила натяжения в нижней точке $T_0 = T_x$.

6  ^4.00 Расстояние $h_\text{ц}$ по высоте от центра тяжести цепочки до уровня точек подвеса.

Найдём положение центра тяжести цепочки. Заметим, что если один из концов цепочки закрепить, а другой равномерно перемещать в горизонтальном направлении, то работа внешней силы пойдёт на увеличение потенциальной энергии цепочки, то есть $A_{внеш} = mg\Delta h$, где $\Delta h$ $–$ изменение высоты центра тяжести цепочки.

a) Легко найти положение центра тяжести при $\alpha = 90 ^\circ (l = 0)$: он будет находиться на расстоянии $L/4 = 25~см$ ниже точки подвеса.
b) Работа внешней силы пропорциональна площади под графиком $T_x(l)$ на участке от $l = 0~см$ до $l = 85~см$. Площадь можно посчитать по клеточкам: $A_{внеш} \approx 10 мДж$.

c) Расстояние от уровня точек подвеса до центра тяжести оказывается равным:

7  ^1.00 Расстояние $h$ по высоте от центра тяжести цепочки до уровня точек подвеса, если цепочку натянуть, потянув вниз за середину как показано на рисунке.

Если потянуть середину цепочки вниз, то она примет форму двух боковых сторон равнобедренного треугольника. Центр тяжести будет располагаться на середине высоты данного треугольника. Её можно измерить непосредственно (хотя это и не очень удобно), или посчитать по теореме Пифагора: