Logo
Logo

''Несложный'' конденсатор

A1  0.50 Выразите заряды обкладок конденсатора $q_1(x)$ и $q_2(x)$ через $\mathcal{E}$, $S$, $d$, $q$, $x$ и физические постоянные.

__
Разность потенциалов в поле пластины
$$\varphi_{1q}-\varphi_{2q}=-2E_qx=-\frac{qx}{S\epsilon_0}
$$
Комментарий: В случае неправильного знака ответы во всех пунктах не оцениваются, но оцениваются промежуточные выкладки.
0.20
Разность потенциалов в поле конденсатора
$$\varphi_{1C}-\varphi_{2C}=\frac{q_1d}{S\epsilon_0}
$$
0.20
Ответ
$$q_1=-q_2=\frac{qx}{d}+\frac{\epsilon_0\mathcal{E}S}{d}
$$
0.10
A2  0.50 Выразите силу электростатического взаимодействия $F(x)$ пластины с обкладками через $\mathcal{E}$, $S$, $d$, $q$, $x$ и физические постоянные.

__
$$F_x(x)=\frac{q_1q}{S\epsilon_0}
$$
Комментарий: При ошибке в два раза ответы во всех пунктах не оцениваются, но оцениваются промежуточные выкладки.
0.30
Ответ
$$F_x(x)=\frac{q^2x}{S\epsilon_0d}+\frac{\mathcal{E}q}{d}
$$
0.20
A3  1.00 Выразите $a$, $A$, $B$ и $C$ через $\mathcal{E}$, $S$, $d$, $q$, $m$ и физические постоянные.

__
Ответ для $a$
$$a=\frac{q}{\sqrt{mS\epsilon_0d}}
$$
0.40
Ответ для $C$
$$C=-\frac{\mathcal{E}S\epsilon_0}{q}
$$
0.20
$$A+B+C=0
$$
0.10
$$A=B
$$
0.10
Ответ для $A$ и $B$
$$A=B=\frac{\mathcal{E}S\epsilon_0}{2q}
$$
0.20
A4  1.00 Выразите скорость пластины $v^*$ в момент удара об обкладку конденсатора через $\mathcal{E}$, $S$, $d$, $q$, $m$ и физические постоянные.

__
M1 Теорема об изменении кинетической энергии
$$\frac{mv^2}{2}=\int\limits_0^{\frac{d}{2}}F_x(x)dx
$$
0.20
M1 $$\int\limits_0^{\frac{d}{2}}F_x(x)dx=\frac{\mathcal{E}q}{2}+\frac{q^2d}{8S\epsilon_0}
$$
0.50
M2 $$v=aA\left(e^{at}-e^{-at}\right)
$$
Комментарий: Пункт оценивается, даже если $A$ и $a$ найдены неверно.
0.10
M2 Решено квадратное уравнение относительно $e^{at}$
$$e^{at}=1+\frac{d}{4A}+\sqrt{\frac{d}{2A}+\frac{d^2}{16A^2}}
$$
либо предложен верный способ, позволяющий не находить время явно.
Комментарий: Пункт оценивается, даже если $A$ и $a$ найдены неверно.
0.60
Ответ
$$v=\sqrt{\frac{\mathcal{E}q}{m}+\frac{q^2d}{4S\epsilon_0m}}
$$
0.30
B1  0.30 Найдите заряды $q$ на металлических обкладках конденсатора. Ответ выразите через $V$, $S$, $d$, $\varepsilon$ и физические постоянные.

__
$$q=\frac{\varepsilon\epsilon_0SV}{d}
$$
0.30
B2  0.30 Найдите силу тока $I$, протекающего через диэлектрик. Ответ выразите через $V$, $S$, $d$, $\rho$ и физические постоянные.

__
$$I=\frac{VS}{\rho{d}}
$$
0.30
B3  0.40 Найдите $R$ и $C$, а также укажите вид соединения данных элементов (последовательно или параллельно).

__
$$R=\frac{\rho{d}}{S}
$$
0.10
$$C=\frac{\varepsilon\epsilon_0S}{d}
$$
0.10
Соединение параллельное.
Комментарий: при неправильном ответе пунткы $C1$ и $C2$ автоматически оцениваются в ноль баллов.
0.20
B4  2.00 Найдите зависимость от времени силы тока $I(t)$, протекающего через источник. Ответ выразите через $\mathcal{E}$, $r$, $R$, $C$ и $t$.

__
Получена система уравнений Кирхгоффа, позволяющая получить дифференциальное уравнение относительно заряда на конденсаторе $q_C$
(по 0.2 за каждое верное уравнение)
3 × 0.20
Получено дифференциальное уравнение относительно $q_C$
$$\frac{(R+r)}{rRc}dt=\frac{dq_C}{\frac{C\mathcal{E}R}{R+r}-q_C}
$$
0.40
$$\frac{(R+r)}{rRc}t=-\ln\left(1-\frac{q_C(R+r)}{C\mathcal{E}R}\right)
$$
или
$$q_C(t)=\frac{C\mathcal{E}R}{R+r}\left(1-e^{-\frac{(R+r)}{rRС}t}\right)
$$
0.50
Выражение для силы тока, текущего через источник
$$I(t)=\frac{\mathcal{E}}{r}-\frac{q_C(t)}{rC}
$$
0.20
Ответ
$$I(t)=\frac{\mathcal{E}}{R+r}+\frac{\mathcal{E}R}{r(R+r)}e^{-\frac{(R+r)}{rRC}t}
$$
0.30
C1  0.40 Найдите эквивалентную ёмкость $C_0$ данного конденсатора. Ответ выразите через $S_1$, $S_2$, $\varepsilon_1$, $\varepsilon_2$, $d$ и физические постоянные.

__
$$C_0=C_1+C_2
$$
0.20
Ответ
$$C_0=\frac{\varepsilon_1\epsilon_0S_1}{d}+\frac{\varepsilon_2\epsilon_0S_2}{d}
$$
0.20
C2  0.40 Найдите эквивалентное сопротивление $R_0$ данного конденсатора. Ответ выразите через $S_1$, $S_2$, $\rho_1$, $\rho_2$ и $d$.

__
$$R_0=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}
$$
0.20
Ответ
$$R_0=\frac{\rho_1\rho_2d}{\rho_1S_2+\rho_2S_1}
$$
0.20
C3  0.40 Найдите заряд $q_C(0)$ на конденсаторе ёмкости $C$ сразу после замыкания ключа. Ответ выразите через $\mathcal{E}$, $C$ и $C_0$.

__
Соотношение между зарядами конденсаторов
$$q_C=q_{C_0}
$$
0.20
Выражение для падения напряжения
$$\mathcal{E}=\frac{q_C}{C}+\frac{q_{C_0}}{C_0}
$$
0.10
Ответ
$$q_C=\frac{\mathcal{E}CC_0}{C+C_0}
$$
0.10
C4  1.30 Найдите зависимость показаний вольтметра $V(t)$ от времени $t$ после замыкания ключа. Ответ выразите через $\mathcal{E}$, $C$, $C_0$, $R_0$ и $t$.

__
Получена система уравнений Кирхгоффа, позволяющая получить дифференциальное уравнение относительно заряда $q_{R_0}$, протекающего через резистор.
(по 0.2 за каждое верное уравнение)
3 × 0.20
Получено дифференциальное уравнение относительно $q_{R_0}$
$$\frac{dt}{R_0(C+C_0)}=\frac{dq_{R_0}}{C\mathcal{E}-q_{R_0}}
$$
0.20
$$\frac{t}{R_0(C+C_0)}=\int\limits_0^{q_{R_0}}\frac{dq_{R_0}}{C\mathcal{E}-q_{R_0}}=-\ln\left(1-\frac{q_{R_0}}{C\mathcal{E}}\right)
$$
или
$$q_{R_0}=C\mathcal{E}\left(1-e^{-\frac{t}{R_0(C+C_0)}}\right)
$$
0.30
Ответ
$$V(t)=\frac{C\mathcal{E}}{C+C_0}e^{-\frac{t}{R_0(C+C_0)}}
$$
0.20
C5  0.50 Какое количество теплоты $Q_{R_0}$ выделится на сопротивлении $R_0$? Ответ выразите через $\mathcal{E}$, $C$ и $C_0$.

__
M1 Выражение для количества теплоты, выделившегося в момент закрытия ключа
$$Q_0=\frac{q_C\mathcal{E}}{2}=\frac{CC_0{\mathcal{E}}^2}{2(C+C_0)}
$$
0.10
M1 Выражение для количества теплоты, выделившегося за всё время
$$Q_{\infty}=\frac{C\mathcal{E}^2}{2}
$$
0.10
M1 $$Q_{R_0}=Q_{\infty}-Q_0
$$
0.10
M2 $$Q_{R_0}=\int\limits_0^{\infty}\frac{V^2}{R_0}dt
$$
0.10
M2 Верно вычислен интеграл 0.20
Ответ
$$Q_{R_0}=\frac{C^2\mathcal{E}^2}{2(C+C_0)}
$$
0.20