Рассмотрим смещение пластины на величину $x$ от центра. Найдём разность потенциалов на обкладках $1$ и $2$ в поле пластины.
$$\varphi_{1q}-\varphi_{2q}=-2E_qx=-\frac{qx}{S\epsilon_0}
$$
С другой стороны, поскольку конденсатор изначально не заряжен, разность потенциалов в поле конденсатора
$$\varphi_{1C}-\varphi_{2C}=\frac{q_1d}{S\epsilon_0}
$$
Суммарно
$$\varphi_1-\varphi_2=\mathcal{E}=\frac{q_1d-qx}{S\epsilon_0}
$$
откуда
$$q_1=-q_2=\frac{qx}{d}+\frac{\epsilon_0\mathcal{E}S}{d}
$$

$$F_x(x)=\frac{q_1q}{S\epsilon_0}=\frac{q^2x}{S\epsilon_0d}+\frac{\mathcal{E}q}{d}
$$

Уравнение движения можно записать в виде
$$\frac{mS\epsilon_0d}{q^2}\frac{d^2x}{dt^2}=x+\frac{\mathcal{E}S\epsilon_0}{q}
$$
Подставляя полученный вид зависимости $x(t)$, сразу находим
$$a=\frac{q}{\sqrt{mS\epsilon_0d}}
$$
$$C=-\frac{\mathcal{E}S\epsilon_0}{q}
$$
Далее учтём, что $x=0,\frac{dx}{dt}$в момент времени $t=0$
$$x=A+B+C=0
$$
$$\frac{dx}{dt}=a\left(A-B\right)=0
$$
откуда
$$A=B=-\frac{C}{2}
$$
и окончательно
$$A=B=\frac{\mathcal{E}S\epsilon_0}{2q}
$$

Можно воспользоваться результатом пункта $A3$, а также законом сохранения энергии
$$\frac{mv^2}{2}=\int\limits_0^{\frac{d}{2}}F_x(x)dx=\frac{\mathcal{E}q}{2}+\frac{q^2d}{8S\epsilon_0}
$$
откуда
$$v=\sqrt{\frac{\mathcal{E}q}{m}+\frac{q^2d}{4S\epsilon_0m}}
$$

Под воздействием зарядов на металлических обкладках, электрическое поле внутри диэлектрика уменьшается в $\varepsilon$ раз, откуда
$$\frac{V}{d}=\frac{q}{S\epsilon_0\varepsilon}
$$
откуда
$$q=\frac{\varepsilon\epsilon_0SV}{d}
$$

Из закона Ома в дифференциальной форме
$$\vec{j}=\frac{\vec{E}}{\rho}
$$
Откуда
$$\frac{I}{S}=\frac{V}{\rho{d}}
$$
Или
$$I=\frac{VS}{\rho{d}}
$$

$$R=\frac{\rho{d}}{S}
$$
$$C=\frac{\varepsilon\epsilon_0S}{d}
$$
Полученное выражение для силы тока говорит о том, что не все заряды, текущие по подводящим проводам остаются на обкладках конденсатора, а часть из них протекает в объёме диэлектрика. Это говорит о том, что эквивалетная схема представляет собой параллельные резистор $R$ и конденсатор $C$.

Выражение для силы тока, текущего через источник. следующее
$$I(t)=\frac{\mathcal{E}}{r}-\frac{q_C(t)}{rC}
$$
Найдём $q_C(t)$. Из первого закона Кирхгофа
$$I=I_R+I_C=\frac{q_C}{RC}+I_C
$$
откуда
$$I_C=\frac{\mathcal{E}}{r}-\frac{q_C(t)(R+r)}{rRC}
$$
$$\frac{(R+r)}{rRc}dt=\frac{dq_C}{\frac{C\mathcal{E}R}{R+r}-q_C}
$$
Интегрируя
$$\frac{(R+r)}{rRc}t=\int\limits_0^{q_C}\frac{dq_C}{\frac{C\mathcal{E}R}{R+r}-q_C}=-\ln\left(1-\frac{q_C(R+r)}{C\mathcal{E}R}\right)
$$
или
$$q_C(t)=\frac{C\mathcal{E}R}{R+r}\left(1-e^{-\frac{(R+r)}{rRC}t}\right)
$$
и окончательно
$$I(t)=\frac{\mathcal{E}}{R+r}+\frac{\mathcal{E}R}{r(R+r)}e^{-\frac{(R+r)}{rRC}t}
$$

Данную систему можно представить как два параллельно соединённых сложных конденсатора, что говорит о том, что эквивалентные сопротивление и ёмкость могут быть вычислены по формулам параллельного соединения. Отсюда
$$C_0=C_1+C_2=\frac{\varepsilon_1\epsilon_0S_1}{d}+\frac{\varepsilon_2\epsilon_0S_2}{d}
$$

$$R_0=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}=\frac{\rho_1\rho_2d}{\rho_1S_2+\rho_2S_1}
$$

После замыкания ключа заряд практически мгновенно перераспределяется между обкладками конденсаторов $C$ и $C_0$. Отсюда
$$q_C=q_{C_0}
$$
а также
$$\mathcal{E}=\frac{q_C}{C}+\frac{q_{C_0}}{C_0}
$$
и окончательно
$$q_C=\frac{\mathcal{E}CC_0}{C+C_0}
$$

Выражение для падения напряжения на источнике следующее
$$\mathcal{E}=\frac{q_C}{C}+\frac{q_{C_0}}{C_0}
$$
Пусть $q_{R_0}$ - заряд, протёкший через резистор. Тогда
$$\mathcal{E}=\frac{q_{R_0}}{C}+q_{C_0}\left(\frac{1}{C}+\frac{1}{C_0}\right)
$$
С другой стороны
$$\frac{q_{C_0}}{C_0}=I_{R_0}R_0
$$
откуда
$$\mathcal{E}=\frac{q_{R_0}}{C}+I_{R_0}R_0\left(1+\frac{C_0}{C}\right)
$$
Отсюда
$$\frac{dt}{R_0(C+C_0)}=\frac{dq_{R_0}}{C\mathcal{E}-q_{R_0}}
$$
Учитывая, что $q_{R_0}(0)=0$
$$\frac{t}{R_0(C+C_0)}=\int\limits_0^{q_{R_0}}\frac{dq_{R_0}}{C\mathcal{E}-q_{R_0}}=-\ln\left(1-\frac{q_{R_0}}{C\mathcal{E}}\right)
$$
$$q_{R_0}=C\mathcal{E}\left(1-e^{-\frac{t}{R_0(C+C_0)}}\right)
$$
Дифференцируя
$$V(t)=I_{R_0}(t)R_0=\frac{C\mathcal{E}}{C+C_0}e^{-\frac{t}{R_0(C+C_0)}}
$$

В начальный момент в цепи выделяется количество теплоты
$$Q_0=\frac{q_C\mathcal{E}}{2}=\frac{CC_0{\mathcal{E}}^2}{2(C+C_0)}
$$
В установившемся режиме конденсатор $C_0$ не заряжен, поэтому за всё время в цепи выделяется количество теплоты
$$Q_{\infty}=\frac{C\mathcal{E}^2}{2}
$$
$$Q_{R_0}=Q_{\infty}-Q_0=\frac{C^2\mathcal{E}^2}{2(C+C_0)}
$$