Pho.rs: Переходные процессы в сложной цепи

A1 ^0.60 Найдите заряды конденсаторов $q_{1_0}$, $q_{2_0}$ и $q_{3_0}$ при $t\rightarrow0$.

1 Ответ для $q_{1_0}$ $$q_{1_0}=0 $$	0.20
2 $$q_{2_0}=q_{3_0} $$	0.20
3 Ответ для $q_{2_0}$ и $q_{3_0}$ $$q_{2_0}=q_{3_0}=\frac{C\mathcal{E}}{2} $$	0.20

A2 ^0.60 Найдите заряды конденсаторов $q_{1_{\infty}}$, $q_{2_{\infty}}$ и $q_{3_{\infty}}$ при $t\rightarrow\infty$.

1 Ответ для $q_{1_\infty}$ и $q_{2_\infty}$ $$q_{1_\infty}=q_{2_\infty}=0 $$	0.30
2 Ответ для $q_{3_\infty}$ $$q_{3_\infty}=C\mathcal{E} $$	0.30

A3 ^0.40 Найдите количество теплоты $Q_0$, выделившееся в системе за время $t\rightarrow0$.

1 Выражение для работы источника $$A_{\text{ист}}=\frac{C\mathcal{E}^2}{2} $$	0.10
2 Выражение для энергии конденсатора $$W_{C_2}+W_{C_3}=\frac{C\mathcal{E}^2}{4} $$	0.10
3 Закон изменения энергии $$A_{\text{ист}}=W_{C_2}+W_{C_3}+Q_0 $$	0.10
4 Ответ $$Q_0=\frac{C\mathcal{E}^2}{4} $$	0.10

A4 ^0.40 Найдите количество теплоты $Q_{\infty}$, выделившееся в системе за время $t\rightarrow\infty$.

1 Выражение для работы источника $$A_{\text{ист}}=C\mathcal{E}^2 $$ Либо выражение для работы источника после быстрого перераспределения зарядов на втором и третьем конденсаторах $$A^{*}=\frac{C\mathcal{E}^2}{2} $$	0.10
2 Выражение для энергии конденсаторов $$W_{C_3}=\frac{C\mathcal{E}^2}{2} $$ Либо выражение для изменения энергии конденсаторов $$\Delta{W_C}^{*}=\frac{C\mathcal{E}^2}{4} $$	0.10
3 Закон изменения энергии $$A_{\text{ист}}=W_{C_3}+Q_\infty $$ Либо $$Q_\infty-Q_0=A^{}-\Delta{W_C}^{} $$	0.10
4 Ответ $$Q_{\infty}=\frac{C\mathcal{E}^2}{2} $$	0.10

A5 ^0.50 Из первого закона Кирхгофа, записанного для узла $A$, выразите $I_2$ через $I_1$, $q_1$, $R$ и $C$.

1 Связь изменений зарядов на втором и третьем конденсаторе $$I_3=-I_2 $$	0.10
2 Первый закон Кирхгофа для узла $A$ $$I_3=I_2+I_{R2} $$	0.10
3 Первый закон Кирхгофа для участка $BC$ $$I_{R2}=I_{R1}+I_1 $$	0.10
4 Равенство падений напряжений на $R_1$ и $C_1$ $$I_{R1}=\frac{q_1}{RC} $$	0.10
5 Ответ $$I_2=-\frac{1}{2}\left(I_1+\frac{q_1}{RC}\right) $$ (Балл ставится даже в случае потери знака)	0.10

A6 ^0.50 Из второго закона Кирхгофа, записанного для контура $ABCD$, выразите $q_2$ через $I_1$, $q_1$, $R$ и $C$.

Найдите также $I_2$, дифференцируя $q_2$ по времени. Ответ выразите через $\cfrac{dI_1}{dt}$, $I_1$, $R$ и $C$.

1 Второй закон Кирхгофа для контура $ABCD$ $$\frac{q_2}{C}=\frac{q_1}{C}+I_{R2}R $$	0.10
2 Ответ $$q_2=2q_1+RCI_1 $$	0.30
3 Ответ $$I_2=2I_1+RC\frac{dI_1}{dt} $$	0.10

A7 ^0.40 Приравнивая выражения для $I_2$, полученные в пунктах A5 и A6, покажите, что дифференциальное уравнение, описывающее зависимость $q_1(t)$ имеет следующий вид
$$\alpha\frac{d^2q_1}{dt^2}+\beta\frac{dq_1}{dt}+q_1=0.
$$Выразите также $\alpha$ и $\beta$ через $R$ и $C$.

1 Ответ $$\alpha=2(RC)^2 $$	0.20
2 Ответ $$\beta=5RC $$	0.20

A8 ^0.50 Найдите $\lambda_1$ и $\lambda_2$, удовлетворяющие уравнению, полученному в пункте A7. Ответы выразите через $R$ и $C$.

В качестве $\lambda_1$ выберите большее из значений.

1 Получено уравнение вида $$\alpha{\lambda}^2+\beta{\lambda}+1=0 $$	0.10
2 Ответы $$\lambda_{1,2}=\frac{-5\pm\sqrt{17}}{4RC} $$	0.40

A9 ^0.80 Из начальных условий найдите $A_1$ и $A_2$. Ответы выразите через $C$ и $\mathcal{E}$.

1 Из условия $q_{!_0}=0$ получено $$A_1+A_2=0 $$	0.20
2 Из условий $q_{1_0}=0;~q_{2_0}=\frac{C\mathcal{E}}{2}$ получено $${\lambda_1}A_1+{\lambda_2}A_2=\frac{\mathcal{E}}{2R} $$ (Балл ставится, даже если $\lambda_1$ и $\lambda_2$ были найдены неверно)	0.20
3 Выражения для $A_1$ и $A_2$ через $\lambda_1$ и $\lambda_2$ $$A_1=-A_2=\frac{\mathcal{E}}{2R(\lambda_1-\lambda_2)} $$ (Балл ставится, даже если $\lambda_1$ и $\lambda_2$ были найдены неверно)	0.10
4 Ответы $$A_1=-A_2=\frac{C\mathcal{E}}{\sqrt{17}} $$	0.30

A10 ^1.30 Найдите количества теплоты $Q_{R_1}$ и $Q_{R_2}$, выделившиеся в резисторах за время $t\rightarrow\infty$. Ответы выразите через $C$ и $\mathcal{E}$.

1 Выражение для $Q_{R_1}$ через $A_1$, $\lambda_1$ и $\lambda_2$ $$Q_{R_1}=\frac{{A_1}^2}{RC^2}\int\limits_0^{\infty}\left(e^{2\lambda_1{t}}-2e^{(\lambda_1+\lambda_2)t}+e^{2\lambda_2{t}}\right)dt $$ (Балл ставится, даже если $A_1$, $\lambda_1$ и $\lambda_2$ были найдены неверно)	0.10
2 $$\int\limits_0^{\infty}\left(e^{2\lambda_1{t}}-2e^{(\lambda_1+\lambda_2)t}+e^{2\lambda_2{t}}\right)dt=\left(\frac{2}{\lambda_1+\lambda_2}-\frac{1}{2\lambda_1}-\frac{1}{2\lambda_2}\right) $$ (Балл ставится, даже если $\lambda_1$ и $\lambda_2$ были найдены неверно)	0.20
3 Ответ для $Q_{R_1}$ $$Q_{R_1}=\frac{C\mathcal{E}^2}{10} $$	0.70
4 Аддитивность количества теплоты $$Q_{R_2}=Q_{\infty}-Q_0-Q_{R_1} $$	0.10
5 Ответ для $Q_{R_2}$ $$Q_{R_2}=\frac{3C\mathcal{E}^2}{20} $$	0.20

Переходные процессы в сложной цепи

Разбалловка