A1  ^0.60 Найдите заряды конденсаторов $q_{1_0}$, $q_{2_0}$ и $q_{3_0}$ при $t\rightarrow0$.

Поскольку сила тока, текущего через резисторы бесконечной быть не может, в начальный момент заряд практически мгновенно перераспределяется между обкладками второго и третьего конденсатора, следовательно, на них обоих будет одинаковый заряд, а первый конденсатор не успевает зарядиться
$$q_{1_0}=0
$$
$$q_{2_0}=q_{3_0}=q
$$
Из второго закона Кирхгофа для контура с конденсаторами
$$\mathcal{E}=\frac{2q}{C}
$$
откуда
$$q_{2_0}=q_{3_0}=\frac{C\mathcal{E}}{2}
$$

A2  ^0.60 Найдите заряды конденсаторов $q_{1_{\infty}}$, $q_{2_{\infty}}$ и $q_{3_{\infty}}$ при $t\rightarrow\infty$.

Через бесконечно большое время, когда перераспределение зарядов прекратится, силы тока во всех элементах будут равны нулю. Поэтому
$$q_{1_\infty}=0=q_{2_\infty}
$$
Падение напряжения происходит только на третьем конденсаторе, поэтому
$$q_{3_\infty}=C\mathcal{E}
$$

A3  ^0.40 Найдите количество теплоты $Q_0$, выделившееся в системе за время $t\rightarrow0$.

Запишем закон сохранения энергии для системы при перераспределении зарядов в начальный момент
$$\mathcal{E}q_{3_0}=\frac{C\mathcal{E}^2}{2}=W_{C2}+W_{C3}+Q_0=\frac{C\mathcal{E}^2}{4}+Q_0
$$
откуда
$$Q_0=\frac{C\mathcal{E}^2}{4}
$$

A4  ^0.40 Найдите количество теплоты $Q_{\infty}$, выделившееся в системе за время $t\rightarrow\infty$.

Из закона сохранения энергии для всего переходного процесса
$$\mathcal{E}q_{3_\infty}=C\mathcal{E}^2=W_{C3}+Q_{\infty}=\frac{C\mathcal{E}^2}{2}+Q_{\infty}
$$
откуда
$$Q_{\infty}=\frac{C\mathcal{E}^2}{2}
$$

A5  ^0.50 Из первого закона Кирхгофа, записанного для узла $A$, выразите $I_2$ через $I_1$, $q_1$, $R$ и $C$.

Из второго закона Кирхгофа для контура с конденсаторами следует
$$\mathcal{E}=\frac{q_2+q_3}{C}
$$
откуда
$$I_3=-I_2
$$
Из первого закона Кирхгофа для узла $A$
$$I_3=I_2+I_{R2}
$$
выражение для силы тока через второй резистор
$$I_{R2}=I_{R1}+I_1
$$
Приравнивая падения напряжения на элементах с индексами $1$
$$I_{R1}=\frac{q_1}{RC}
$$
откуда окончательно
$$I_2=-\frac{1}{2}\left(I_1+\frac{q_1}{RC}\right)
$$

A6  ^0.50 Из второго закона Кирхгофа, записанного для контура $ABCD$, выразите $q_2$ через $I_1$, $q_1$, $R$ и $C$.
Найдите также $I_2$, дифференцируя $q_2$ по времени. Ответ выразите через $\cfrac{dI_1}{dt}$, $I_1$, $R$ и $C$.

$$\frac{q_2}{C}=\frac{q_1}{C}+I_{R2}R
$$
подставляя результаты предыдущего пункта
$$q_2=2q_1+RCI_1
$$
Дифференцируя
$$I_2=2I_1+RC\frac{dI_1}{dt}
$$

A7  ^0.40 Приравнивая выражения для $I_2$, полученные в пунктах A5 и A6, покажите, что дифференциальное уравнение, описывающее зависимость $q_1(t)$ имеет следующий вид
$$\alpha\frac{d^2q_1}{dt^2}+\beta\frac{dq_1}{dt}+q_1=0.
$$
Выразите также $\alpha$ и $\beta$ через $R$ и $C$.

Приравнивая
$$2I_1+RC\frac{dI_1}{dt}=-\frac{1}{2}\left(I_1+\frac{q_1}{RC}\right)
$$
Откуда
$$2(RC)^2\frac{d^2q_1}{dt^2}+5RC\frac{dq_1}{dt}+q_1=0
$$
$$\alpha=2(RC)^2
$$
$$\beta=5RC
$$

A8  ^0.50 Найдите $\lambda_1$ и $\lambda_2$, удовлетворяющие уравнению, полученному в пункте A7. Ответы выразите через $R$ и $C$.
В качестве $\lambda_1$ выберите большее из значений.

$$\frac{dq_1}{dt}=\lambda{A}e^{\lambda{t}}
$$
$$\frac{d^2q_1}{dt^2}=\lambda^2{A}e^{\lambda{t}}
$$
Откуда
$$2(RC)^2{\lambda}^2+5RC\lambda+1=0
$$
и окончательно
$$\lambda_{1,2}=\frac{-5\pm\sqrt{17}}{4}
$$

A9  ^0.80 Из начальных условий найдите $A_1$ и $A_2$. Ответы выразите через $C$ и $\mathcal{E}$.

Для момента $t=0$
$$q_1=A_1+A_2=0
$$
$$\frac{dq_1}{dt}={\lambda_1}A_1+{\lambda_2}A_2=\frac{\mathcal{E}}{2R}
$$
Откуда
$$A_1=-A_2=\frac{\mathcal{E}}{2R(\lambda_1-\lambda_2)}=\frac{\mathcal{E}}{R\sqrt{17}}
$$

A10  ^1.30 Найдите количества теплоты $Q_{R_1}$ и $Q_{R_2}$, выделившиеся в резисторах за время $t\rightarrow\infty$. Ответы выразите через $C$ и $\mathcal{E}$.

Найдём выражение для тепловой мощности, выделяющейся в первом резисторе
$$P_{R_1}=\frac{{U_1}^2}{R}=\frac{\mathcal{E}^2}{17R}\left(e^{2\lambda_1{t}}-2e^{(\lambda_1+\lambda_2)t}+e^{2\lambda_2{t}}\right)
$$
Отсюда
$$Q_{R_1}=\frac{\mathcal{E}^2}{17R}\int\limits_0^{\infty}\left(e^{2\lambda_1{t}}-2e^{(\lambda_1+\lambda_2)t}+e^{2\lambda_2{t}}\right)dt
$$
Учитывая, что $\lambda_1;\lambda_2<0$, все три первообразных при $t\rightarrow\infty$ обращаются в ноль. Таким образом
$$\int\limits_0^{\infty}\left(e^{2\lambda_1{t}}-2e^{(\lambda_1+\lambda_2)t}+e^{2\lambda_2{t}}\right)dt=\left(\frac{2}{\lambda_1+\lambda_2}-\frac{1}{2\lambda_1}-\frac{1}{2\lambda_2}\right)=\frac{17}{10RC}
$$
Отсюда
$$Q_{R_1}=\frac{C\mathcal{E}^2}{10}
$$
При этом
$$Q_{R_1}+Q_{R_2}=Q_{\infty}-Q_0=\frac{C\mathcal{E}^2}{4}
$$
откуда
$$Q_{R_2}=\frac{3C\mathcal{E}^2}{20}
$$