Поскольку нам известны изменения температур в каждом из политропных процессов, для нахождения работы газа в цикле и КПД цикла нам необходимо найти теплоёмкости в процессах $13$ и $23$. Найдём теплоёмкость газа в зависимости от показателя политропы
$$
$$
$$n=\frac{C_P-C}{C_V-C}
$$
Выражение для теплоёмкости
$$C=C_V+\frac{R}{1-n}$$
Таким образом,задача сводится к поиску показателей политроп $13$ и $23$.Далее можно действовать разными способами, в решении мы предложим наиболее быстрый.
$$
$$
1 из способов связан с энтропией.Из определения энтропии $dS=\frac{\delta Q}{T}=Cd\ln(\frac{T}{T_0})$. Значит, в политропном процессе график $S$($\ln(\frac{T}{T_0})$) линеен и имеет угловой коэффициент равный $C$.
$$
$$
Приравнивая изменение энтропии в процессе $12$ к изменению энтропии в процессах $13$ и $32$, получим
$$
$$
$$C_{13}\ln(\frac{T_3}{T_1}) +C_{32}\ln(\frac{T_2}{T_3})=C_P\ln(\frac{T_2}{T_1})
$$
Учитывая соотношение $T_3^2=T_1T_2$ из условия, получаем эквивалентное равенство
$$C_{13}+C_{32}=2C_P
$$
Принимая во внимание зависимость $C$($n$), получаем второе уравнение для определения показателей политропы
$$\frac{1}{1-n_{13}} +\frac{1}{1-n_{23}}=2
$$
Учитывая, что $n_{23}=-\frac{1}{n_{13}}$, получим квадратное уравнение относительно $n_{13}$
$${n_{13}}^2+2n_{13}-1=0
$$
Решая квадратное уравнение, получаем
$$n_{13}=-1\pm\sqrt{2}
$$
Смысл двух корней не только в том, что мы имеем 2 неизвестных показателя политропы, но ещё и в том, что возможно провести 2 разных цикла, меняя направление изобарного процесса.Действительно,если построить качественный график $P$($V$), станет ясно, что политропы с показателями разного знака могут иметь в точке пересечения давление как выше,так и ниже давления в изобарном процессе.
$$
$$
Теперь найдём значения теплоёмкостей для данных показателей политроп
$$
$$1)Для $n=-1+\sqrt2$
$$C_1=C_V+\frac{R}{2-\sqrt2}=C_P+\frac{R}{\sqrt2}
$$
2)Для $n=-1-\sqrt2$
$$C_2=C_V+\frac{R}{2+\sqrt2}=C_P-\frac{R}{\sqrt2}
$$
В случае, если давление в точке $3$ выше, чем в изобарном процессе,$C_{13}=C_2$,$C_{32}=C_1$,а в ином случае наоборот.Работу газа в циклах найдём из закона сохранения энергии
$$
$$В 1 случае
$$A_1=C_2{(T_3-T_1)}+C_1{(T_2-T_3)}-C_P{(T_2-T_1)}=\frac{R}{\sqrt2}\cdot{(\sqrt{T_2}-\sqrt{T_1})}^2=587,6Дж
$$
Во втором случае
$$A_2=C_P{(T_2-T_1)}-C_2{(T_2-T_3)}-C_1{(T_3-T_1)}=\frac{R}{\sqrt2}\cdot{(\sqrt{T_2}-\sqrt{T_1})}^2=587,6Дж
$$
Выражения для работы одинаковы в обоих случаях
Поскольку работу газа в цикле мы уже знаем,необходимо определить $Q_+$ для нахождения КПД цикла.
$$
$$В первом случае тепло отводится только на изобаре,поэтому из закона сохранения энергии
$$Q_{+1}=C_P{(T_2-T_1)}+A
$$
Во втором случае тепло подводится только на изобаре, поэтому
$$Q_{+2}=C_P{(T_2-T_1)}
$$
Выражения для КПД циклов, соответственно
$$\eta_1=\frac{1}{\frac{C_P\sqrt2}{R}\frac{(\sqrt{T_2}+\sqrt{T_1})}{(\sqrt{T_2}-\sqrt{T_1})}+1}
$$
$$\eta_2=\frac{1}{\frac{C_P\sqrt2}{R}\frac{(\sqrt{T_2}+\sqrt{T_1})}{(\sqrt{T_2}-\sqrt{T_1})}}
$$
Учитывая, что $C_P=\frac{\gamma}{\gamma-1}R$,ответы приводятся к следующему виду
$$\eta_1=\frac{1}{\frac{\gamma\sqrt2}{\gamma-1}\frac{(\sqrt{T_2}+\sqrt{T_1})}{(\sqrt{T_2}-\sqrt{T_1})}+1}=\frac{1}{9\sqrt2+1}
$$
$$\eta_2=\frac{1}{\frac{\gamma\sqrt2}{\gamma-1}\frac{(\sqrt{T_2}+\sqrt{T_1})}{(\sqrt{T_2}-\sqrt{T_1})}}=\frac{1}{9\sqrt2}
$$