A1  ^1.00 Пусть в капилляре имеется установившееся ламинарное течение воды. Найдите зависимость скорости течения жидкости $v(z)$ в капилляре от координаты $z$ при установившемся ламинарном течении воды в капилляре. Ось $z$ направлена вдоль стороны $b$, начало координат находится на одной из стенок капилляра. Выразите ответ через $\Delta P$, параметры капилляра и вязкость жидкости $\eta$.

A1. 1 Записан второй закон Ньютона для слоя жидкости $$ -\eta \frac{dv}{dz} = \frac{\Delta P}{L}z + f_{стенки} \quad или \quad -\eta \frac{d^2v}{dz^2} = \frac{\Delta P}{L} $$	0.30
A1. 2 Получен вид зависимости $v(z)$ $$ v(z) = - \frac{\Delta P}{\eta L} \frac{z^2}{2}+ C_1 z + C_2 $$	0.15
A1. 3 Используются верные граничные условия $v(0) = 0$ и $v(b)=0$	0.15
A1. 4 $$ v(z) = \frac{\Delta P}{2\eta L} \left(bz -z^2 \right) $$	0.40

A2  ^1.00 В некоторый момент в начальное сечение капилляра $AA'$ равномерно впрыскивается реагент. На рисунке жирные горизонтальные линии обозначают стенки капилляра. В листе ответов нарисуйте, где будет находиться реагент через $\tau=5~с$. Для рисунка выберите подходящий масштаб по горизонтальной оси, которая направлена вдоль течения жидкости.

Параметры капилляра: $L = 8~\text{мм}$, $b = 0.2 ~\text{мм}$, разность давлений $\Delta P = 1.5 ~\text{Па}$, $\eta = 8.9 \cdot 10^{-4}~\text{Па} \cdot \text{с} $. Диффузией реагента пренебрегите.

A2. 2 На графике нарисована парабола, соответствующая решению	0.80
A2. 4 Культура построения графика: — оси подписаны и оцифрованы — выбран масштаб, позволяющий рассмотреть все характерные особенности	2 × 0.10

B1  ^0.50 Найдите установившуюся скорость ионов $v_z(z)$ на расстоянии $z$ от границы капилляра. Считайте, что перемещение иона за время установления скорости мало. Ответ выразите через заряд иона $q$ $(q = \pm e)$, $\alpha$ и потенциал $\varphi(z)$ (и его производные).

B1. 1 $$ v_z = - \frac{q}{\alpha} \frac{d \varphi}{dz} $$	0.50
B1. 2 Неправильный знак	-0.30

B2  ^1.50 Выразите концентрации катионов ($n_+$) и анионов ($n_-$) вблизи стенки капилляра через потенциал в этой точке, а также через $n_0, e, \alpha, k, T$.

B2. 1 Поток ионов, возникающий вследствие дрейфового движения пункта $B1$: $$ j_{drift} = nv_z $$	0.40
B2. 2 Из равенства нулю суммарного потока частиц получено уравнение $$ -\frac{q}{\alpha} \frac{d \varphi}{dz} \cdot n = D \frac{dn}{dz} $$ Пункт не ставится при неправильном знаке	0.60
B2. 3 Найдена зависимость $n(\varphi)$: $$ n = n_0 \exp \left( -\frac{q \varphi}{kT} \right) $$	0.50

B3  ^0.50 Выразите объемную плотность нескомпенсированного заряда $\rho(z)$ вблизи стенки капилляра через потенциал $\varphi(z)$, концентрацию ионов $n_0$ и физические постоянные $e, k, T$. Считая, что приложенный к стенке потенциал мал ($e\varphi_0 \ll kT$), получите приближенное значение $\rho(z)$.

B3. 1 $$\rho(z) = e (n_+ - n_-)$$	0.20
B3. 2 $$ \rho = en_0 \left( \exp \left( -\frac{e \varphi}{kT}\right) - \exp \left( \frac{e \varphi}{kT} \right)\right) $$ Баллы за пункт можно получить при неправильном знаке всего выражения, следующем из ошибки в B2.2	0.10
B3. 3 $$ \rho \approx - 2 \frac{e^2 n_0}{kT} \varphi $$ Баллы за пункт ставятся только при правильном знаке выражения.	0.20

B4  ^1.00 Найдите зависимость потенциала $\varphi(z)$ от координаты вблизи стенки капилляра в диффузном слое. Помните, что на границе потенциал равен $\varphi_\delta$. Выразите ответ через $n_0$, $\varphi_\delta$, $T$, физические постоянные и параметры электролита.

B4. 1 Теорема Гаусса $$ \rho = - \varepsilon \varepsilon_0 \frac{d^2 \varphi}{dz^2} $$	0.30
B4. 2 Верное итоговое уравнение $$ \frac{d^2 \varphi}{ dz^2} = 2 \frac{e^2 n_0}{\varepsilon \varepsilon_0 kT} \varphi $$	0.10
B4. 3 Правильно выписано общее решение $$ \varphi(z) = C_1 \exp \left( z/\lambda \right) + C_2 \exp \left( - z/\lambda \right) $$	0.20
B4. 4 Использованы граничные условия $\varphi (0) = \varphi_\delta$ и $\varphi (+\infty) = 0$	0.10
B4. 5 Итоговый ответ $$ \varphi(z) = \varphi_\delta \: \exp \left( - z/\lambda \right), $$ где $\lambda = \sqrt{\tfrac{\varepsilon \varepsilon_0 kT}{2e^2 n_0}}$.	0.30

B5  ^0.50 Найдите расстояние $\lambda$ (формулу и численное значение), на котором потенциал $\varphi(z)$ уменьшается в $e$ раз. Эта длина считается характерным размером диффузного слоя Гуи. Вязкость жидкости $\eta = 8.9 \cdot 10^{-4}~\text{Па} \cdot \text{с} $, концентрация ионов $n = 1.1 \cdot 10^{25}~\text{м}^{-3}$, электрическая постоянная $\varepsilon_0 = 8.85 \cdot 10^{-12} ~\text{Ф}/ \text{м}$, постоянная Больцмана $k = 1.38 \cdot 10^{-23}~\text{Дж}/\text{К}$, температура $T = 300~\text{К}$, диэлектрическая проницаемость $\varepsilon = 100$.

B5. 1 $$ \lambda = \sqrt{\frac{\varepsilon \varepsilon_0 kT}{2e^2 n_0}} $$	0.20
B5. 2 Численное значение $$ \lambda = 2.55 \: нм $$	0.30

C1  ^0.80 Запишите второй закон Ньютона для небольшого объема жидкости в проекции на направление электрического поля, учитывающий вязкое трение и электрическое поле, действующие на нескомпенсированный заряд. Выразите ответ через электрическое поле $E$, концентрацию ионов $n_0$, потенциал $\varphi(z)$, параметры жидкости и капилляра, а также скорость $v(z)$ и ее производные.

C1. 1 $$ \eta \frac{d^2 v}{dz^2} + \rho E = 0 $$	0.50
C1. 2 $$ \eta \frac{d^2 v}{dz^2} - \frac{\varepsilon \varepsilon_0 E}{\lambda^2} \varphi_\delta \exp \left( - z/\lambda \right)= 0 $$ Балл можно получить при ошибке в знаке, наследуемой из пункта C1.1	0.30

C2  ^1.20 Найдите зависимость скорости течения жидкости от координаты $v(z)$.

C2. 1 Найдена зависимость $v(\varphi)$ в общем виде $$ v = C_1 + C_2 z + \frac{\varepsilon \varepsilon_0 E}{\eta} \varphi_\delta \: e^{- z/\lambda} $$ Балл можно получить при ошибке в знаке, наследуемой из пункта C1.1	0.30
C2. 2 Использовано граничное условия $v(0) = 0$	0.15
C2. 3 Использовано граничное условие $f_{fric} ( +\infty) = 0$ или аналогичное, следующее из физических соображений: "скорость не может возрастать до бесконечности", "в отсутствии поля сила трения на бесконечности отсутствует" и т. д. Не ставится при некорректных рассуждениях.	0.35
C2. 4 Итоговый ответ $$ v =-\frac{\varepsilon \varepsilon_0 E}{\eta} \varphi_\delta \left( 1- e^{- z/\lambda} \right) $$	0.40

C3  ^1.00 Пусть в капилляре имеется установившееся ламинарное течение воды. В некоторый момент в сечение $AA'$ капилляра равномерно впрыскивается реагент, рисунок такой же как в части $\mathrm{A}$. В листе ответов нарисуйте, где будет находиться реагент через $\tau=5~с$. Используйте параметры капилляра из $\mathrm{A2}$ и численные данные из $\mathrm{B5}$. Потенциал $\varphi_\delta = 1.8~\text{В}$, падение напряжения на длине капилляра $U = 0.3~\text{В}$. Пренебрегите диффузией реагента вне диффузионного слоя. Для рисунка выберите подходящий масштаб по горизонтальной оси, направленной вдоль направления течения жидкости.

C3. 1 Нанесена гладкая кривая, соответствующая теоретической зависимости	0.80
C3. 3 Культура построения графика: — оси подписаны и оцифрованы — выбран масштаб, позволяющий рассмотреть все характерные особенности	2 × 0.10

C4  ^1.00 На основе части $\mathrm{С}$ этой задачи предложите систему, которая позволяет перемешать слои жидкости, текущие вблизи стенки капилляра.

C4. 1 Предложена разумная идея, опирающаяся на часть C

1.00