Pho.rs: Клеточные мембраны

A1 ^1.00 Запишите дифференциальное уравнение, которому должен удовлетворять потенциал электрического поля $\varphi$.

$\textit{Подсказка:}$ согласно распределению Больцмана, концентрация $n$ частиц с энергией $E$ пропорциональна $\exp\left(-\frac E{kT}\right)$, где $T$ — абсолютная температура среды.

A1. 1 Получено выражение\[\frac{\mathrm d^2\varphi}{\mathrm dx^2}=-\frac{en_0}{\varepsilon\varepsilon_0}\exp\left(-\frac{e\varphi}{kT}\right).\]	1.00
A1. 2 Противоположный знак у правой части.	-0.40

A2 ^0.30 Запишите граничные условия, которым удовлетворяет потенциал $\varphi$ на поверхности мембраны, т.е найдите $\varphi(0)$, $\displaystyle\frac{d\varphi}{dx}(0)$.

A2. 1 Записано\[\varphi(0)=0.\]	0.10
A2. 2 Получен ответ\[\frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dx}=\frac\sigma{\varepsilon\varepsilon_0}.\]	0.20

A3 ^0.80 Определите $n_0$, $A_1$ и $B_1$. Выразите $\varphi(x)$ и $n(x)$ (концентрацию положительных ионов в точке $x$) через $\sigma$, $\varepsilon$, $\varepsilon_0$, $T$, $e$ и $k$.

A3. 1 Получен ответ\[A_1=\frac{2kT}e.\]	0.10
A3. 2 Получен ответ\[n_0=\frac{\sigma^2}{2\varepsilon\varepsilon_0kT}.\]	0.20
A3. 3 Получен ответ\[B_1=\frac{\sigma e}{2\varepsilon\varepsilon_0kT}.\]	0.20
A3. 5 Получено выражение\[\varphi(x)=\frac{2kT}e\ln\left(1+\frac{\sigma ex}{2\varepsilon\varepsilon_0kT}\right).\]	0.15
A3. 6 Получено выражение\[n(x)=\frac{\sigma^2}{2\varepsilon\varepsilon_0kT}\frac1{\left(1+\frac{\sigma ex}{2\varepsilon\varepsilon_0kT}\right)^2}.\]	0.15

A4 ^0.40 Покажите, что полученное $n(x)$ гарантирует электрическую нейтральность системы.

A4. 1 Корректно вычислен интеграл из решения.

0.40

A5 ^1.50 В расчете на единицу площади мембраны найдите энергию электрического поля $U_f$ и сумму потенциальных энергий положительных ионов $U_e$ в этом поле.

A5. 1 Корректно проведено интегрирование, получен ответ\[U_f=\frac{\sigma kT}e.\]	0.60
A5. 2 Записано выражение\[U_e=\int_0^{\infty}en(x)\varphi(x)\mathrm dx.\]	0.30
A5. 3 Получен ответ\[U_e=\frac{2\sigma kT}e.\]	0.60

B1 ^0.80 Определите $A_2$ и $B_2$. Выразите ответ через $T$, $\varepsilon$, $\varepsilon_0$ $e$, $k$ и $n_0$.

B1. 1 Получен ответ\[A_2=\frac{2kT}e.\]	0.30
B1. 2 Получен ответ\[B_2=\sqrt{\frac{n_0e^2}{2\varepsilon\varepsilon_0kT}}.\]	0.50

B2 ^0.50 Введём величину $\theta=B_2D$.
Из граничных условий на поверхности мембраны получите уравнение, связывающее $\theta$ и $e$, $\sigma$, $D$, $\varepsilon$, $\varepsilon_0$, $k$ и $T$.

B2. 1 Для рассматриваемой функции $\varphi(x)=A_2\ln[\cos(B_2x)]$ найдено\[\frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dx}=-A_2B_2\operatorname{tg}(B_2x).\]	0.20
B2. 2 Получен ответ\[\theta\operatorname{tg}\theta=\frac{\sigma eD}{2\varepsilon\varepsilon_0kT}.\]	0.30

B3 ^0.40 Выразите $n_0$ через $D$, $\sigma$, $\varepsilon$, $\varepsilon_0$, $T$, $e$, $k$ и $\theta$.

B3. 1 Получен ответ\[n_0=\frac{2\varepsilon\varepsilon_0kT\theta^2}{e^2D^2}.\]

0.40

B4 ^0.50 Найдите разность $\Delta n\equiv n(\pm D)-n_0$ между концентрациями положительных ионов у поверхности двух мембран и посередине между ними. Выразите ответ через $\sigma$, $\varepsilon$, $T$ и $k$.

B4. 1 Записано выражение\[\Delta n=n_0\operatorname{tg}^2\theta.\]	0.20
B4. 2 Получен ответ\[\Delta n=\frac{\sigma^2}{2\varepsilon\varepsilon_0kT}.\]	0.30
B4. 3 Противоположный знак ответа.	-0.20

B5 ^0.50 Покажите, что полученное $n(x)$ гарантирует электрическую нейтральность системы.

B5. 1 Корректно вычислен интеграл из решения.

0.50

B6 ^1.50 Найдите полную силу $f$, действующую на единицу площади мембраны. Гидростатическим давлением можно пренебречь. Ответ выразите через $e$, $D$, $\theta$, $\varepsilon$, $\varepsilon_0$, $k$ и $T$

$\textit{Подсказка:}$ положительные ионы в воде ведут себя как идеальный газ и локально находятся в тепловом равновесии.

B6. 1 Получено выражение для силы электростатического взаимодействия\[f_e=\frac{\sigma^2}{2\varepsilon\varepsilon_0}.\]	0.50
B6. 2 Для идеального газа положительных ионов записано\[f_h=n(\pm D)kT.\]	0.20
B6. 3 Для давление газа положительных ионов получено выражение\[f_h=\frac{2\varepsilon\varepsilon_0k^2T^2\theta^2}{e^2D^2}+\frac{\sigma^2}{2\varepsilon\varepsilon_0}.\]	0.50
B6. 4 Получен ответ\[f=\frac{2\varepsilon\varepsilon_0k^2T^2\theta^2}{e^2D^2}.\]	0.30

B7 ^1.80 Для сравнительно малых расстояний $D$ зависимость $f(D)$ имеет вид: $f=k_1D^\alpha$, а для больших: $f=k_2D^\beta$. Найдите $\alpha$ и $\beta$.

B7. 1 Получен ответ\[\alpha=-1.\]	0.70
B7. 2 Получен ответ\[\beta=-2.\]	1.10

Клеточные мембраны

Разбалловка