Pho.rs: Маятник переменной длины

A1 ^0.40 Запишите уравнение движения маятника.

A1. 1 $-mg \theta = m \ddot x$
(или аналогичное)

0.40

A2 ^0.40 Выразите $x$ через $\theta$. Пусть амплитуда $\theta$ равна $A$, а в момент времени $t=0$ угол $\theta=0$. Найдите $\theta(t)$.

A2. 1 $x=l_0 \theta$	0.10
A2. 2 $\theta(t)=A\cdot \sin{\sqrt{\cfrac{g}{l_0}}t}$	0.30

A3 ^0.30 Найдите зависимость кинетической энергии груза от времени $K(t)$.

A3. 1 $K(t)=\cfrac{mgl_0 A^2}{2} \cdot \cos^2 {\sqrt{\cfrac{g}{l_0}}t}$

0.30

A4 ^0.30 Найдите зависимость потенциальной энергии груза от времени $U(t)$.

A4. 1 $U(t)=\cfrac{mgl_0 A^2}{2} \cdot \sin^2 {\sqrt{\cfrac{g}{l_0}}t}$
(если $U=0$ в положении равновесия)

0.30

A5 ^0.10 Найдите полную механическую энергию маятника $E=K+U$. Покажите, что она постоянна.

A5. 1 $E(t) = \cfrac{mgl_0 A^2}{2} = \mathrm{const}$

0.10

A6 ^0.50 Натяжение нити $S$ равно сумме центробежной силы и проекции силы тяжести на нить. Покажите, что $S$ можно представить в виде\[S(t)=C_0+C_1\cos(2\omega t),\]где $C_0$, $C_1$ и $\omega$ — положительные постоянные. Выразите $C_0$, $C_1$ и $\omega$ через $m$, $g$, $l_0$ и $A$.

A6. 1 Записано $S = mg \cos \theta + \cfrac{mv^2}{l_0}$	0.05
A6. 3 $C_0 = mg \cdot \left( 1 + \cfrac{A^2}{4} \right)$	0.20
A6. 4 $C_1 = mg \cdot \cfrac{3}{4}A^2$	0.20
A6. 5 $\omega = \sqrt{\cfrac{g}{l_0}}$	0.05

B1 ^0.50 При изменении длины маятника необходимо совершить работу. Пусть длина маятника меняется со временем по закону $l(t)$. Найдите, какая для этого нужна мощность. Выразите ответ через $l(t)$ и $S(t)$.

B1. 1 $P(t) = -S(t) \cdot \dot{l}(t)$	0.50
B1. 2 отсутствует знак "минус"	-0.20

B2 ^0.50 Найдите работу $\Delta W$, которую необходимо совершить при увеличении длины маятника на $\Delta l$.

B2. 1 $\Delta W = - mg \left (1 + \cfrac{A^2}{4} \right) \cdot \Delta l$	0.50
B2. 2 отсутствует знак "минус"	-0.20

B3 ^1.50 При изменении длины нити период $T$ маятника также изменяется и становится равным $T+\Delta T$. Покажите, что в первом приближении справедливо равенство:\[\frac{\Delta E}E+\frac{\Delta T}T=0.\]При $|\delta|\ll1$ можно пользоваться приближением $(1+\delta)^\alpha\approx1+\alpha\delta$.

B3. 1 Показано, что $\cfrac{\Delta E}{E} = - \cfrac{\Delta l}{2 l_0}$	0.90
B3. 2 Показано, что $\cfrac{\Delta T}{T} = + \cfrac{\Delta l}{2 l_0}$	0.60

B4 ^1.50 Как зависит амплитуда маятника $Al$ от $l$ при медленном изменении длины нити?

B4. 1 Показано, что $Al \propto \sqrt[4]{l}$

1.50

B5 ^2.50 Теперь вкладом осциллирующего члена в уравнении из $\bf A6$ уже нельзя пренебречь. Найдите, какую работу нужно совершить над маятником в промежутке времени от $0$ до $t$.

B5. 1 Записано $\Delta W = - \int \limits_{t=0}^t S(t) \dot {l(t)} \, dt$	0.20
B5. 2 Приведено к сумме гармонических слагаемых: $\Delta W = B_1 \cdot \sin \Omega t + B_2 \cdot \sin \left( 2\sqrt{\cfrac{g}{l_0}}+\Omega \right) t + B_3 \cdot \sin \left( 2\sqrt{\cfrac{g}{l_0}}-\Omega \right) t$	0.80
B5. 3 $B_1 = mga \left( 1 + \cfrac{A^2}{4} \right)$ или $B_1 = C_0 a$	0.50
B5. 4 $B_2 = \cfrac{3}{8} \cdot \cfrac {mga \Omega A^2}{2\sqrt{\cfrac{g}{l_0}}+\Omega}$ или $B_2 = \cfrac{C_1 a \Omega}{2} \cdot \cfrac {1}{2\sqrt{\cfrac{g}{l_0}}+\Omega}$	0.50
B5. 5 $B_3 = \cfrac{3}{8} \cdot \cfrac {mga \Omega A^2}{2\sqrt{\cfrac{g}{l_0}}-\Omega}$ или $B_3 = \cfrac{C_1 a \Omega}{2} \cdot \cfrac {1}{2\sqrt{\cfrac{g}{l_0}}-\Omega}$	0.50
B5. 6 Ошибка в знаке, но всё остальное верно. Если есть другие ошибки, то ошибка в знаке наказывается в соответствующих критериях	-0.50

B6 ^1.50 Покажите, что при $\Omega=2\omega$ энергия маятника на больших временах увеличивается прямо пропорционально $t$.

B6. 1 Приведено к виду: $\Delta W = B_1 \cdot \sin \Omega t + B_2 \cdot \sin 2\Omega t + B_4 \cdot t$	0.50
B6. 2 $B_4 = \cfrac{3mga \Omega A^2}{8}$	0.80
B6. 3 Указано, что при больших временах преобладает слагаемое $B_4 \cdot t$	0.20
B6. 4 Ошибка в знаке, но всё остальное верно. Если есть другие ошибки, то ошибка в знаке наказывается в соответствующих критериях	-0.50

Маятник переменной длины

Разбалловка