A1  ^0.40 Запишите уравнение движения маятника.

Момент силы, действующий на маятник:\[M=-mgl_0\sin\theta.\]Закон изменения момента импульса:\[M=I\ddot\theta=ml_0^2\ddot\theta.\]Используя приближение $\sin\theta\approx\theta$, получаем:

A2  ^0.40 Выразите $x$ через $\theta$. Пусть амплитуда $\theta$ равна $A$, а в момент времени $t=0$ угол $\theta=0$. Найдите $\theta(t)$.

В используемом приближении:\[x=l_0\theta.\]Общее решение уравнения движения маятника:\[\theta(t)=C_1\cos\left(t\sqrt{\frac{g}{l_0}}\right)+C_2\sin\left(t\sqrt{\frac{g}{l_0}}\right).\]Учитывая начальные условия задачи:\[\begin{cases}C_1=0\\\sqrt{C_1^2+C_2^2}=A\end{cases}\implies C_2=\pm A\implies\]

A3  ^0.30 Найдите зависимость кинетической энергии груза от времени $K(t)$.

Кинетическая энергия:

A4  ^0.30 Найдите зависимость потенциальной энергии груза от времени $U(t)$.

Потенциальная энергия (считаем её равной нулю в положении равновесия маятника):

A5  ^0.10 Найдите полную механическую энергию маятника $E=K+U$. Покажите, что она постоянна.

Полная механическая энергия:\[E=K(t)+U(t)=\frac12mgl_0A^2=\operatorname{const}\]

A6  ^0.50 Натяжение нити $S$ равно сумме центробежной силы и проекции силы тяжести на нить. Покажите, что $S$ можно представить в виде\[S(t)=C_0+C_1\cos(2\omega t),\]где $C_0$, $C_1$ и $\omega$ — положительные постоянные. Выразите $C_0$, $C_1$ и $\omega$ через $m$, $g$, $l_0$ и $A$.

По условию сила натяжения нити равна:\[S(t)=mg\cos\theta(t)+mv^2/l_0=mg-\frac12 mg\theta(t)^2+ml_0\dot\theta^2(t)=mg-\frac12mgA^2\sin^2(t\sqrt{g/l_0})+ml_0\frac{g}{l_0}A^2\cos^2(t\sqrt{g/l_0}).\]Поскольку $\sin^2(t\sqrt{g/l_0})=(1-\cos(2t\sqrt{g/l_0}))/2$ и $\cos^2(t\sqrt{g/l_0})=(1+\cos(2t\sqrt{g/l_0}))/2$, то:\[S(t)=mg \cdot \left( 1 + \cfrac{A^2}{4} \right)+mg \cdot \cfrac{3}{4}A^2\cos\left(2t\sqrt{g/l_0}\right)\implies\]

B1  ^0.50 При изменении длины маятника необходимо совершить работу. Пусть длина маятника меняется со временем по закону $l(t)$. Найдите, какая для этого нужна мощность. Выразите ответ через $l(t)$ и $S(t)$.

Точка приложения силы смещается на величину $-\mathrm dl=-\dot l\,\mathrm dt$ за время $\mathrm dt$. Таким образом, необходимая мощность равна:

B2  ^0.50 Найдите работу $\Delta W$, которую необходимо совершить при увеличении длины маятника на $\Delta l$.

Поскольку изменение длины нити происходит медленно, мощность можно усреднять по периоду движения маятника. Это значит, что в ответе не останется слагаемого, содержащего косинус, поэтому:

B3  ^1.50 При изменении длины нити период $T$ маятника также изменяется и становится равным $T+\Delta T$. Покажите, что в первом приближении справедливо равенство:\[\frac{\Delta E}E+\frac{\Delta T}T=0.\]При $|\delta|\ll1$ можно пользоваться приближением $(1+\delta)^\alpha\approx1+\alpha\delta$.

Найдём относительное изменение периода маятника:\[\frac{\Delta T}{T}=\frac{\Delta\left(2\pi\sqrt{l_0/g}\right)}{2\pi\sqrt{l_0/g}}=\frac{1}{2}\frac{\Delta l_0}{l_0}.\]Найдём теперь относительное изменение энергии. Работа, совершённая на маятником при вытягивании нити:\[\Delta W=-mg\Delta l_0-mg\Delta l_0 A^2/4.\]Здесь следует заметить, что потенциальная энергия маятника отсчитывается от положения равновесия, которое меняется при вытягивании нити. В частности, при смещении нуля потенциальной энергии на $\Delta l_0$ вниз потенциальная энергия маятника должна увеличиться на $mg\Delta l_0$. Таким образом, изменение энергии маятника:\[\Delta E=\Delta W+mg\Delta l_0=-mg\Delta l_0 A^2/4.\]Энергия маятника равна:\[E=\frac12 mgl_0A^2.\]Таким образом, относительное изменение энергии маятника равно:\[\frac{\Delta E}{E}=-\frac12\frac{\Delta l_0}{l_0},\]откуда следует требуемое равенство.

B4  ^1.50 Как зависит амплитуда маятника $Al$ от $l$ при медленном изменении длины нити?

Из условия следует, что при медленном вытягивании нити постоянной остаётся величина $ET\sim lA^2\cdot \sqrt l=(lA)^2/\sqrt l=\operatorname{const}\implies$

B5  ^2.50 Теперь вкладом осциллирующего члена в уравнении из $\bf A6$ уже нельзя пренебречь. Найдите, какую работу нужно совершить над маятником в промежутке времени от $0$ до $t$.

«Честно» проинтегрируем мощность:

B6  ^1.50 Покажите, что при $\Omega=2\omega$ энергия маятника на больших временах увеличивается прямо пропорционально $t$.

При $\Omega =2\omega$ последнее слагаемое будет иметь другой вид, а именно:\[\Delta W = - \int \limits_{0}^t S(\xi) \dot {l}(\xi) \, \mathrm d\xi= \\= mga \left( 1 + \cfrac{A^2}{4} \right) \cdot \sin \left(2\sqrt{\cfrac{g}{l_0}}\right) t + \cfrac{3}{16} {mga A^2} \cdot \sin \left( 4\sqrt{\cfrac{g}{l_0}}\right) t +\cfrac{3}{4}mga A^2\sqrt{\cfrac{g}{l_0}}t.\]На больших временах это слагаемое будет доминировать над всеми остальными, и энергия маятника будет расти прямо пропорционально времени, что и требовалось доказать.