Pho.rs: Униполярный генератор

A1 ^0.30 Найдите величину и направление силы $F$, действующей на частицу при $q > 0$.

1 $F_\text{Л} = Bq\omega r$	0.20
2 Направление: от центра	0.10

A2 ^0.70 Найдите, какая разность потенциалов $\mathrm d\mathcal E$ индуцируется между точками $r$ и $r+\mathrm dr$. Зависит ли она от величины и знака заряда $q$?

1 Идея: электростатическая сила должна компенсировать силу Лоренца	0.20
2 $\mathrm d \mathcal E = B\omega r \,\mathrm d r$	0.40
3 Явный ответ на вопрос: $\mathrm d \mathcal E$ не зависит от величины и знака заряда $q$	0.10

A3 ^0.70 Найдите ЭДС $\cal E$, индуцированную между центром ($r=0$) и краем ($r=a$) диска.

1 $\mathcal E = \varphi(a) - \varphi(0) = \cfrac{B\omega a^2 }{2}$

0.70

A4 ^0.30 На растекающийся ток со стороны магнитного поля действует сила Ампера, направленная противоположно скорости вращения диска. Рассмотрим малый участок диска площадью $\mathrm ds\mathrm dr$, показанный на рисунке 2. Найдите, какая по величине сила Ампера на него действует.

1 $\mathrm d F_A = BI \cfrac{\mathrm d s}{2\pi r} \mathrm d r$

0.30

A5 ^1.00 Найдите действующий на диск момент сил $N$.

1 $N = \cfrac{BIa^2}{2}$

1.00

A6 ^1.00 Найдите мощность крутящего момента и мощность, выделяющуюся на нагрузке. Выполняется ли для них закон сохранения энергии?

1 Мощность крутящего момента $P_\text{внеш} = \cfrac{BI\omega a^2}{2}$ (или эквивалентное выражение)	0.30
2 Мощность на нагрузке $P_R = I^2 R$ (или эквивалентное выражение)	0.20
3 Выражения приведены к одинаковому виду и показано, что они совпадают	0.50

B1 ^1.50 Зависимость угловой скорости от времени даётся в этом случае выражением:\[\omega(t)=\omega_\mathrm{m}\left(1-e^{-\frac t\tau}\right).\]Выразите постоянную $\tau$ через $I_\mathrm{m}$, $N_0$ и $\omega_\mathrm{m}$.

1 $\tau = \cfrac{I_\mathrm m \omega_\mathrm m}{N_0}$	0.50
2 Обоснование. Например, через рассмотрение $\cfrac{\mathrm d \omega}{\mathrm d t}\Bigg\|_{t=0}$	1.00

B2 ^1.00 В процессе движения диск разгоняется за счёт действующего на него момента. Когда угловая скорость диска равна $\omega$, выразите мощность этого момента $P$ через $N_0$ и $\omega_\mathrm{m}$.

1 $P = N_0 \cfrac{\omega}{\omega_\mathrm m}(\omega_\mathrm m-\omega)$	0.40
2 Обоснование. Например, через $N = \cfrac{BIa^2}{2}$ и $I = \cfrac{1}{R} \cdot \left( V-\cfrac{B\omega a^2}{2}\right)$. Или через $N = I_\mathrm m \cdot \cfrac{\mathrm d\omega}{\mathrm dt} = I_\mathrm m \cdot \omega_\mathrm m \cdot \cfrac{e^{-t/\tau}}{\tau}$	0.60

B3 ^1.00 Из закона сохранения энергии должно следовать, что мощность $P_B$, отдаваемая источником, равна сумме мощности $P_R$, выделяющейся на резисторе, и мощности $P$ крутящего момента. Найдите $P_B$ и $P_R$. Выполняется ли равенство $P_B=P_R+P$?

1 $P_B = N_0 \cdot (\omega_\mathrm m - \omega)$ (или эквивалентное выражение)	0.40
2 $P_R = \cfrac{N_0}{\omega_\mathrm m} \cdot (\omega_\mathrm m - \omega)^2$ (или эквивалентное выражение)	0.40
3 Показано, что выполняется равенство $P_B = P_R + P$	0.20

B4 ^1.50 Найдите явную зависимость мощности крутящего момента от времени $P(t)$. Выразите ответ через $V$, $R$ и $\tau$. Постройте график этой зависимости в интервале времени $0 < t <4\tau$ в координатах $P-t$ на рисунке ниже.

1 $P = \cfrac{V^2}{R} \cdot (1-e^{-t/\tau}) \cdot e^{-t/\tau}$	0.50
2 M1 Верно посчитано несколько (до 7) ключевых точек	7 × 0.10
3 M1 Точки нанесены на график, он имеет верную форму	0.30
4 M2 График нарисован схематично, без количественного расчета ключевых точек, и имеет верную форму	0.20

B5 ^1.00 Найдите работу $W\equiv\int\limits_0^{+\infty}P(t)\mathrm dt$, которую совершает крутящий момент от начала вращения диска до достижения им постоянной угловой скорости. Равна ли полученная величина конечной кинетической энергии диска?

1 $W = \cfrac{I_\mathrm m \omega_\mathrm m^2}{2} = \cfrac{M V^2}{B^2 a^2}$ (или другое эквивалентное выражение)	0.80
2 Явный ответ на вопрос: да, $W$ равна кинетической энергии диска	0.20

Униполярный генератор

Разбалловка