A1  ^0.30 Найдите величину и направление силы $F$, действующей на частицу при $q > 0$.

Частица на расстоянии $\vec r$ от оси диска движется со скоростью $[\vec\omega\times\vec r]$, и на неё действует сила Лоренца:\[\vec F=q[\vec v\times\vec B]=q[[\vec\omega\times\vec r]\times\vec B]=q\vec r(\vec \omega\cdot\vec B)-q\vec\omega(\vec r\cdot\vec B).\]Поскольку $\vec \omega\uparrow\uparrow\vec B$ и $\vec B\perp\vec r$, последнее выражение упрощается до:

A2  ^0.70 Найдите, какая разность потенциалов $\mathrm d\mathcal E$ индуцируется между точками $r$ и $r+\mathrm dr$. Зависит ли она от величины и знака заряда $q$?

Сила $\vec F$, полученная в предыдущем пункте, играет роль электродвижущей. Значит, она должна индуцировать разность потенциалов:\[q\,\mathrm d\mathcal E=F\,\mathrm dr\implies\]

A3  ^0.70 Найдите ЭДС $\cal E$, индуцированную между центром ($r=0$) и краем ($r=a$) диска.

Проинтегрируем:\[\mathcal E=\int\limits_0^a\frac{\mathrm d\mathcal E}{\mathrm dr}\,\mathrm dr=\omega B\int\limits_0^ar\,\mathrm dr=\frac12\omega Ba^2.\]

A4  ^0.30 На растекающийся ток со стороны магнитного поля действует сила Ампера, направленная противоположно скорости вращения диска. Рассмотрим малый участок диска площадью $\mathrm ds\mathrm dr$, показанный на рисунке 2. Найдите, какая по величине сила Ампера на него действует.

Погонная плотность тока в рассматриваемой точке:\[i=\frac{I}{2\pi r},\]поэтому через участок длиной $\mathrm dr$ течёт ток $I\,\mathrm ds/2\pi r$. Таким образом, величина действующей на него силы Ампера:

A5  ^1.00 Найдите действующий на диск момент сил $N$.

Момент силы Ампера, рассмотренной в предыдущем пункте, равен:\[\mathrm dN=r\cdot B \cdot \frac{I\,\mathrm ds}{2\pi r}\cdot\mathrm dr=\frac{BI}{2\pi}\cdot\mathrm ds\mathrm dr=\frac{BI}{2\pi}\cdot\mathrm dS,\]где $\mathrm dS$ – элемент площади диска. Полная площадь диска равна $S=\pi a^2$, поэтому момент сил:

A6  ^1.00 Найдите мощность крутящего момента и мощность, выделяющуюся на нагрузке. Выполняется ли для них закон сохранения энергии?

Мощность крутящего момента равна $N\cdot\omega$:

Мощность, выделяющаяся на нагрузке, равна:

Поскольку для напряжения на резисторе и ЭДС в диске можно записать:\[RI=\mathcal E=\frac12B\omega a^2,\]откуда\[P_R=RI^2=\frac12BI\omega a^2=P_{внеш}\implies\]

B1  ^1.50 Зависимость угловой скорости от времени даётся в этом случае выражением:\[\omega(t)=\omega_\mathrm{m}\left(1-e^{-\frac t\tau}\right).\]Выразите постоянную $\tau$ через $I_\mathrm{m}$, $N_0$ и $\omega_\mathrm{m}$.

Если диск вращается с угловой скоростью $\omega$, то напряжение на резисторе будет равно:\[U_R=V-\frac12B\omega a^2=RI\implies I=\frac{V}{R}-\frac12\frac{B\omega a^2}{R}.\]Сила Ампера, действующая на растекающийся по диску ток, создаёт разгоняющий момент:\[N=\frac12BIa^2,\]под действием которого диск разгоняется:\[\frac12Ma^2\dot\omega=N=\frac12\frac{BVa^2}{R}-\frac14\frac{B^2a^4}{R}\omega\implies\dot\omega=\frac{BV}{MR}-\frac12\frac{B^2a^2}{MR}\omega\\\frac{\mathrm d\omega}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\omega-\frac{2V}{Ba^2}\right)=-\frac12\frac{B^2a^2}{MR}\left(\omega-\frac{2V}{Ba^2}\right).\]Решение этого дифференциального уравнения с начальным условием $\omega(t=0)=0$ имеет вид:\[\omega(t)=\frac{2V}{Ba^2}\left(1-\exp\left(-\frac12\frac{B^2a^2}{MR}t\right)\right).\]Таким образом, величина:\[\tau=\frac{2MR}{B^2a^2}=\frac{I_\mathrm m\omega_\mathrm m}{N_0}.\]

B2  ^1.00 В процессе движения диск разгоняется за счёт действующего на него момента. Когда угловая скорость диска равна $\omega$, выразите мощность этого момента $P$ через $N_0$ и $\omega_\mathrm{m}$.

Мощность разгоняющего диск момента равна:\[P=N\cdot\omega=\frac12\frac{BVa^2}{R}\omega-\frac14\frac{B^2a^4}{R}\omega^2=\frac{N_0\omega(\omega_\mathrm m-\omega)}{\omega_\mathrm m}.\]

B3  ^1.00 Из закона сохранения энергии должно следовать, что мощность $P_B$, отдаваемая источником, равна сумме мощности $P_R$, выделяющейся на резисторе, и мощности $P$ крутящего момента. Найдите $P_B$ и $P_R$. Выполняется ли равенство $P_B=P_R+P$?

Мощность, отдаваемая источником, равна:\[P_B=VI=\frac{V^2}{R}-\frac12\frac{VB\omega a^2}{R}=N_0(\omega-\omega_\mathrm m).\]

Мощность, выделяющаяся на резисторе, равна:\[P_R=RI^2=R\left(\frac{V}{R}-\frac12\frac{B\omega a^2}{R}\right)^2=\frac{N_0(\omega_\mathrm m-\omega)^2}{\omega_\mathrm m}.\]

Действительно, имеет место закон сохранения энергии:\[P_B=N_0(\omega-\omega_\mathrm m)=\frac{N_0(\omega_\mathrm m-\omega)^2}{\omega_\mathrm m}+\frac{N_0\omega(\omega_\mathrm m-\omega)}{\omega_\mathrm m}=P_R+P.\]

B4  ^1.50 Найдите явную зависимость мощности крутящего момента от времени $P(t)$. Выразите ответ через $V$, $R$ и $\tau$. Постройте график этой зависимости в интервале времени $0 < t <4\tau$ в координатах $P-t$ на рисунке ниже.

Мощность крутящего момента:\[P(t)=\frac{N_0\omega(t)\cdot(\omega_\mathrm m-\omega(t))}{\omega_\mathrm m}=\\=N_0\omega_\mathrm me^{-t/\tau}\left(1-e^{-t/\tau}\right)=\frac{V^2}{R}\cdot e^{-t/\tau}\left(1-e^{-t/\tau}\right)\]

B5  ^1.00 Найдите работу $W\equiv\int\limits_0^{+\infty}P(t)\mathrm dt$, которую совершает крутящий момент от начала вращения диска до достижения им постоянной угловой скорости. Равна ли полученная величина конечной кинетической энергии диска?

Проинтегрируем:\[W\equiv\int\limits_0^{+\infty}P(t)\,\mathrm dt=\frac{V^2}{R}\int\limits_0^{+\infty}e^{-t/\tau}\left(1-e^{-t/\tau}\right)\,\mathrm dt=\\=\frac{V^2}{R}\left(\tau-\frac{\tau}{2}\right)=\frac{V^2\tau}{2R}=\frac{MV^2}{B^2a^2}.\]

Кинетическая энергия диска:\[K=\frac12\cdot\frac12Ma^2\cdot\omega_\mathrm m^2=\frac14Ma^2\cdot\left(\frac{2V}{Ba^2}\right)^2=\frac{MV^2}{B^2a^2}=W\implies\]