Часть A. Униполярный генератор

Рассмотрим однородный проводящий диск радиуса $a$, показанный на рисунке 1. Диск находится в однородном магнитном поле с индукцией $B$ и вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг оси, параллельной полю. На расстоянии $r$ от оси вращения со скоростью $v=\omega r$ по касательной движется частица с зарядом $q$. Ясно, что на движущуюся частицу со стороны магнитного поля будет действовать сила. Таким образом, в диске возникает ЭДС.

A1  ^0.30 Найдите величину и направление силы $F$, действующей на частицу при $q > 0$.

A2  ^0.70 Найдите, какая разность потенциалов $\mathrm d\mathcal E$ индуцируется между точками $r$ и $r+\mathrm dr$. Зависит ли она от величины и знака заряда $q$?

A3  ^0.70 Найдите ЭДС $\cal E$, индуцированную между центром ($r=0$) и краем ($r=a$) диска.

На рисунке 2 показан диск, к центру и краям которого подключена нагрузка. Из A1–A3 следует, что по нагрузке при этом будет протекать ток. Индукцию, возникающую вследствие движения проводника в магнитном поле, называют униполярной индукцией, а основанный на ней генератор – униполярным генератором. Поскольку при протекании тока $I$ через нагрузку $R$ потребляется мощность, то для поддержания угловой скорости диска $\omega$ постоянной к нему необходимо приложить некоторый момент силы – так называемый крутящий момент. При нахождении этого момента будем считать, что сопротивлением проводов, диска и его оси можно пренебречь, а ток по диску растекается от центра к краю равномерно.

A4  ^0.30 На растекающийся ток со стороны магнитного поля действует сила Ампера, направленная противоположно скорости вращения диска. Рассмотрим малый участок диска площадью $\mathrm ds\mathrm dr$, показанный на рисунке 2. Найдите, какая по величине сила Ампера на него действует.

A5  ^1.00 Найдите действующий на диск момент сил $N$.

Таким образом, для сохранения угловой скорости вращения диска к нему в направлении вращения должен быть приложен такой же по величине крутящий момент.

A6  ^1.00 Найдите мощность крутящего момента и мощность, выделяющуюся на нагрузке. Выполняется ли для них закон сохранения энергии?

Часть B. Униполярный двигатель

Теперь в цепь добавляют источник с ЭДС $V$ и ключ $S$, как показано на рисунке 3. Изначально ключ разомкнут, а диск неподвижен. В момент времени $t=0$ ключ $S$ замыкают, и диск начинает вращаться.

Введём величины:\[N_0=\frac{VBa^2}{2R},\quad\omega_\mathrm{m}=\frac{2V}{Ba^2},\quad I_\mathrm{m}=\frac12Ma^2,\]где $M$ – масса диска.

B1  ^1.50 Зависимость угловой скорости от времени даётся в этом случае выражением:\[\omega(t)=\omega_\mathrm{m}\left(1-e^{-\frac t\tau}\right).\]Выразите постоянную $\tau$ через $I_\mathrm{m}$, $N_0$ и $\omega_\mathrm{m}$.

Таким образом, угловая скорость вращения диска становится постоянной по прошествии достаточно большого времени. Такая система называется униполярным двигателем.

B2  ^1.00 В процессе движения диск разгоняется за счёт действующего на него момента. Когда угловая скорость диска равна $\omega$, выразите мощность этого момента $P$ через $N_0$ и $\omega_\mathrm{m}$.

B3  ^1.00 Из закона сохранения энергии должно следовать, что мощность $P_B$, отдаваемая источником, равна сумме мощности $P_R$, выделяющейся на резисторе, и мощности $P$ крутящего момента. Найдите $P_B$ и $P_R$. Выполняется ли равенство $P_B=P_R+P$?

B4  ^1.50 Найдите явную зависимость мощности крутящего момента от времени $P(t)$. Выразите ответ через $V$, $R$ и $\tau$. Постройте график этой зависимости в интервале времени $0 < t <4\tau$ в координатах $P-t$ на рисунке ниже.

B5  ^1.00 Найдите работу $W\equiv\int\limits_0^{+\infty}P(t)\mathrm dt$, которую совершает крутящий момент от начала вращения диска до достижения им постоянной угловой скорости. Равна ли полученная величина конечной кинетической энергии диска?