Logo
Logo

Древнекитайские технологии

В одном из своих сочинений Сунь Цзи описывает, как Конфуций наблюдал в храме Лу Хуан Гун довольно примечательное устройство, которое мы будем называть подвесной патрон. Принцип его работы таков, что будучи пустым он отклонён в сторону, после заполнения до некоторого уровня он приходит в вертикальное положение и опрокидывается в обратную сторону при дальнейшем заполнении. Вид патрона в разрезе показан на рисунке. Внешняя поверхность патрона симметрична относительно оси его вращения $Z$, а внутренняя – относительно оси $Z'$. Радиусы внутренней и внешней поверхностей равны $R_1=R$ и $R_2=\sqrt3R$ соответственно. Оба центра $O$ и $O'$ образуемых поверхностью полусфер находятся на одной горизонтальной оси $X$. Расстояние между осями $Z$ и $Z'$ составляет $t=\frac{3R}{10}$, длина цилиндрической части патрона равна $l=2R$. Точки подвеса патрона расположены на прямой, пересекающей плоскость $XOZ$ в точке $Q$, координаты которой равны $x_Q=-\frac{R}{10}$, $z_Q=\frac{2\sqrt3R}{11}$. Материал патрона однороден, и его плотность $\rho_1$ в три раза больше плотности воды $\rho_2$. При решении задачи пренебрегите трением.

1  12,00 Найдите угол $\theta_0$ между осью $Z$ и вертикалью, когда патрон пуст и находится в состоянии равновесия.

2  10,00 Найдите момент инерции $I$ пустого патрона относительно оси вращения, а также циклическую частоту $\omega$ его малых колебаний вблизи положения равновесия. Считайте известным, что момент инерции однородной сферы плотности $\rho$ и радиуса $R$ относительно оси, проходящей через её центр масс, равен $I_1=\frac{8}{15}\rho R^5$, а момент инерции однородного цилиндра плотности $\rho$, радиуса $R$ и длины $L$ относительно оси, проходящей через его центр масс параллельно основанию, равен $I_2=\frac{1}{12}\pi\rho R^2L\left(3R^2+L^2\right)$.

3  16,00 Пусть теперь патрон начинают медленно заполнять водой. Найдите расстояние $h$ от дна патрона до поверхности воды в тот момент, когда он примет вертикальное положение.

4  2,00 Определите, при каком положении $\left(x_{\text{ц.м.}},z_{\text{ц.м.}}\right)$ центра масс происходит опрокидывание патрона.