Pho.rs: Две резинки

Решение

1 ^?? Найдите максимальную скорость $v_{max}$ шайбы в процессе дальнейшего движения.

Найдём равнодействующая сил упругости, действующих на шайбу при её произвольном положении. Обозначим положение шайбы точкой $P$, середину отрезка $BC$ – точкой $E$. Также обозначим векторы $\vec{EP}=\vec{r}$, $\vec{EC}=\vec{a}$ (рис.1.)

Тогда удлинения резинок равны длинам отрезков $BP$ и $CP$, а равнодействующая сил упругости:
$$\vec{F}_\text{упр}=-k(\vec{r}+\vec{a})-3k(\vec{r}-\vec{a})=-4k\left(\vec{r}-\frac{\vec{a}}{2}\right)
$$
Таким образом, равнодействующая сила всегда направлена к точке $F$, являющейся серединой отрезка $EC$ (рис.2), и пропорциональна расстоянию до неё от точки $P$ с коэффициентом жёсткости $4k$.
Следовательно, всё движение шайбы будет происходить по прямой $OF$, как если бы она находилась под воздействием пружины с коэффициентом жесткости $4k$ и имела положение равновесия в точке $F$.

Задача свелась к исследованию движения по прямой в присутствии сухого трения.
Длина отрезка $OF$ равна $l_0=\cfrac{L\sqrt{5}}{2}$, начальное значение силы упругости $F_0=2\sqrt{5}kL$. Если максимальная сила трения покоя превышает её, то есть $\mu mg\geq{2\sqrt{5}kL}$ - шайба не начнет движение, и её скорость останется равной $0$.
В противном случае шайба придет в движение, для описания которого введем ось $x$ с началом в точке $F$, направленную к точке $O$.
Уравнение движения шайбы от момента начала движения до момента первой остановки шайбы:
$$ma_x=-4kx+\mu mg
$$
заменой $x'=x-\frac{\mu mg}{4k}$ приводится к уравнению гармонических колебаний
$$ma'_x=-4kx'
$$
с нулевой начальной скоростью и начальным отклонением от «смещенного» положения равновесия $l_1=l_0-\cfrac{\mu mg}{4k}$.
Тогда ясно, что максимальная скорость шайбы достигается при прохождении «смещенного» положения равновесия и определяется из закона сохранения энергии:
$$\frac{mv^2_{max}}{2}=\frac{4kl^2_1}{2}\Rightarrow{v_{max}=2l_1\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{5k}{m}}L-\frac{\mu g}{2}\sqrt{\frac{m}{k}}}{.}
$$
После этого момента времени скорость шайбы будет уменьшаться вплоть до остановки, после которой нам снова нужно будет сравнивать силу упругости пружины с максимальной величиной силы трения (чтобы выяснить, начнется ли возвратное движение шайбы). Но в любом случае, поскольку механическая энергия системы убывает за счет работы силы трения, максимумы скорости на новых полупериодах движения будут меньше уже найденного.

Ответ: $$v_{max}=\begin{cases}
{0}\quad\text{при}\quad\mu mg\geq{2\sqrt{5}kL}\\
\sqrt{\displaystyle\frac{5k}{m}}L-\displaystyle\frac{\mu g}{2}\sqrt{\displaystyle\frac{m}{k}}\quad\text{при}\quad\mu mg<2\sqrt{5}kL
\end{cases}
$$

2 ^?? Определите время $\tau$ от момента старта до момента, когда максимальная скорость достигается.

Как было показано при решении первого пункта, при $\mu mg<2\sqrt{5}kL$ максимальная скорость движения шайбы достигается в её положении равновесия, т.е через четверть периода колебаний $T=2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{m}{4k}}$ после старта.
При $\mu mg\geq{2\sqrt{5}kL}$ - движение не начнётся.

Ответ: $$\tau=\begin{cases}
\text{Движение не начнётся при}\quad\mu mg\geq{2\sqrt{5}kL}\\
\displaystyle\frac{\pi}{4}\sqrt{\displaystyle\frac{m}{k}}\quad\text{при}\quad\mu mg<2\sqrt{5}kL
\end{cases}
$$